טרנספורמציה של פורייה היא טרנספורמציה המשווה את הפונקציות של משתנה אמיתי כלשהו. פעולה זו מתבצעת בכל פעם שאנו קולטים צלילים שונים. האוזן מבצעת "חישוב" אוטומטי, אשר התודעה שלנו מסוגלת לבצע רק לאחר לימוד הסעיף המקביל של מתמטיקה גבוהה יותר. איבר השמיעה האנושי בונה טרנספורמציה, שכתוצאה מכך צליל (תנועת תנודה של חלקיקים מותנים בתווך אלסטי המתפשטים בצורת גל בתווך מוצק, נוזלי או גזי) מסופק בצורה של ספקטרום של ערכים עוקבים של רמת הווליום של צלילים בגבהים שונים. לאחר מכן, המוח הופך את המידע הזה לצליל מוכר לכולם.
המרת פורייה מתמטית
טרנספורמציה של גלי קול או תהליכי תנודה אחרים (מקרינת אור וגאות אוקיינוס למחזוריות של פעילות כוכבים או שמש) יכולה להתבצע גם בשיטות מתמטיות. לכן, באמצעות טכניקות אלו, ניתן לפרק פונקציות על ידי ייצוג תהליכי תנודה כקבוצה של רכיבים סינוסואידים, כלומר, עקומות גליותללכת מנמוך לגבוה, ואז חזרה לנמוך, כמו גל ים. טרנספורמציה פורייה - טרנספורמציה שתפקידה מתאר את הפאזה או המשרעת של כל סינוסואיד המקביל לתדר מסוים. הפאזה היא נקודת ההתחלה של העקומה, והמשרעת היא גובהה.
טרנספורמציה של פורייה (הדוגמאות מוצגות בתמונה) היא כלי רב עוצמה המשמש בתחומי מדע שונים. במקרים מסוימים, הוא משמש כאמצעי לפתרון משוואות מורכבות למדי המתארות תהליכים דינמיים המתרחשים בהשפעת אור, אנרגיה תרמית או חשמלית. במקרים אחרים, הוא מאפשר לקבוע את הרכיבים הרגילים באותות נדנודים מורכבים, שבזכותם ניתן לפרש נכון תצפיות ניסויות שונות בכימיה, רפואה ואסטרונומיה.
רקע היסטורי
האדם הראשון שיישם שיטה זו היה המתמטיקאי הצרפתי ז'אן בפטיסט פורייה. הטרנספורמציה, שנקראה מאוחר יותר על שמו, שימשה במקור לתיאור מנגנון הולכת החום. פורייה בילה את כל חייו הבוגרים בחקר תכונות החום. הוא תרם תרומה עצומה לתיאוריה המתמטית של קביעת השורשים של משוואות אלגבריות. פורייה היה פרופסור לאנליזה בבית הספר הפוליטכני, מזכיר המכון לאגיפטולוגיה, היה בשירות הקיסרי, שם התבלט במהלך סלילת הדרך לטורינו (בהנהגתו, יותר מ-80 אלף קמ"ר של מלריהביצות). עם זאת, כל הפעילות הנמרצת הזו לא מנעה מהמדען לעשות ניתוח מתמטי. בשנת 1802, הוא הסיק משוואה המתארת את התפשטות החום במוצקים. בשנת 1807 גילה המדען שיטה לפתרון המשוואה הזו, שנקראה "טרנספורמציה פורייה".
ניתוח מוליכות תרמית
המדען יישם שיטה מתמטית כדי לתאר את מנגנון הולכת החום. דוגמה נוחה, שבה אין קשיים בחישוב, היא התפשטות האנרגיה התרמית דרך טבעת ברזל הטבולה בחלק אחד בשריפה. כדי לבצע ניסויים, חימם פורייה חלק מהטבעת הזו לוהטת וקבר אותה בחול דק. לאחר מכן, הוא ערך מדידות טמפרטורה בצד הנגדי שלו. בתחילה, חלוקת החום אינה סדירה: חלק מהטבעת קר והשני חם; ניתן להבחין בשיפוע טמפרטורה חד בין אזורים אלה. עם זאת, בתהליך של התפשטות חום על פני כל פני המתכת, הוא הופך אחיד יותר. אז, בקרוב תהליך זה מקבל צורה של סינוסואיד. בתחילה, הגרף גדל בצורה חלקה וגם יורד בצורה חלקה, בדיוק לפי חוקי השינוי של פונקציית הקוסינוס או הסינוס. הגל מתפלס בהדרגה וכתוצאה מכך הטמפרטורה הופכת זהה על כל פני הטבעת.
המחבר של שיטה זו הציע שניתן לפרק את ההתפלגות הבלתי סדירה הראשונית למספר סינוסואידים יסודיים. לכל אחד מהם יהיה שלב משלו (מיקום התחלתי) וטמפרטורה משלומַקסִימוּם. יתרה מכך, כל רכיב כזה משתנה ממינימום למקסימום ובחזרה על מהפכה שלמה סביב הטבעת מספר שלם של פעמים. רכיב בעל תקופה אחת נקרא הרמונית יסוד, וערך בעל שתי תקופות או יותר נקרא השני, וכן הלאה. אז, הפונקציה המתמטית המתארת את מקסימום הטמפרטורה, השלב או המיקום נקראת טרנספורמציה פורייה של פונקציית ההתפלגות. המדען צמצם רכיב בודד, שקשה לתאר אותו מתמטית, לכלי קל לשימוש - סדרת הקוסינוס והסינוס, המסכמים לתת את ההתפלגות המקורית.
מהות הניתוח
ביישום הניתוח הזה על הטרנספורמציה של התפשטות החום דרך עצם מוצק שיש לו צורה טבעתית, המתמטיקאי טען שהגדלת התקופות של הרכיב הסינוסואידי תוביל לדעיכה המהירה שלו. זה נראה בבירור בהרמוניות היסודיות והשנייה. באחרון, הטמפרטורה מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים פעמיים במעבר אחד, ובראשון, פעם אחת בלבד. מסתבר שהמרחק שיכסה החום בהרמונית השנייה יהיה חצי מזה שביסוד. בנוסף, גם השיפוע בשני יהיה תלול פי שניים מזה של הראשון. לכן, מכיוון שזרימת החום האינטנסיבית יותר עוברת מרחק קצר פי שניים, הרמוניה זו תתפוגג פי ארבעה מהר יותר מהיסוד כפונקציה של זמן. בעתיד, תהליך זה יהיה אפילו מהיר יותר. המתמטיקאי האמין ששיטה זו מאפשרת לך לחשב את תהליך התפלגות הטמפרטורה הראשונית לאורך זמן.
אתגר לבני זמננו
אלגוריתם הטרנספורמציה של פורייה קרא תיגר על היסודות התיאורטיים של המתמטיקה באותה תקופה. בתחילת המאה התשע-עשרה, רוב המדענים הבולטים, כולל לגרנז', לפלס, פואסון, לג'נדר וביו, לא קיבלו את הצהרתו לפיה התפלגות הטמפרטורה הראשונית מפורקת למרכיבים בצורה של הרמוניה בסיסית ותדרים גבוהים יותר. עם זאת, האקדמיה למדעים לא יכלה להתעלם מהתוצאות שהשיג המתמטיקאי, והעניקה לו פרס על תורת חוקי הולכת החום, וכן על השוואה בינה לבין ניסויים פיזיקליים. בגישתו של פורייה, ההתנגדות העיקרית הייתה העובדה שהפונקציה הבלתי רציפה מיוצגת על ידי סכום של מספר פונקציות סינוסואידיות שהן רציפות. אחרי הכל, הם מתארים קווים ישרים ומעוקלים קרועים. בני דורו של המדען מעולם לא נתקלו במצב דומה, כאשר פונקציות בלתי רציפות תוארו על ידי שילוב של רציפות, כגון ריבוע, ליניארי, סינוסאידי או אקספוננציאלי. במקרה שהמתמטיקאי צדק בהצהרותיו, אזי יש לצמצם את הסכום של סדרה אינסופית של פונקציה טריגונומטרית לשלב מדויק. בזמנו, אמירה כזו נראתה אבסורדית. עם זאת, למרות הספקות, כמה חוקרים (למשל קלוד נבייר, סופי ז'רמן) הרחיבו את היקף המחקר והעבירו אותם מעבר לניתוח התפלגות האנרגיה התרמית. בינתיים, המתמטיקאים המשיכו להיאבק בשאלה האם ניתן לצמצם את הסכום של מספר פונקציות סינוסואידאליות לייצוג מדויק של פונקציה בלתי רציפה.
בן 200 שנההיסטוריה
תאוריה זו התפתחה במשך מאתיים שנה, היום היא סוף סוף נוצרה. בעזרתו, פונקציות מרחביות או זמניות מחולקות לרכיבים סינוסואידיים, שיש להם תדר, פאזה ומשרעת משלהם. טרנספורמציה זו מתקבלת בשתי שיטות מתמטיות שונות. הראשון שבהם משמש כאשר הפונקציה המקורית היא רציפה, והשני - כאשר הוא מיוצג על ידי קבוצה של שינויים בודדים בודדים. אם הביטוי מתקבל מערכים המוגדרים על ידי מרווחים בדידים, ניתן לחלק אותו למספר ביטויים סינוסואידים בעלי תדרים נפרדים - מהנמוך ביותר ולאחר מכן פעמיים, שלוש וכן הלאה גבוה מהראשי. סכום כזה נקרא סדרת פורייה. אם הביטוי הראשוני מקבל ערך עבור כל מספר ממשי, אז ניתן לפרק אותו למספר סינוסואידים מכל התדרים האפשריים. זה נקרא בדרך כלל אינטגרל פורייה, והפתרון מרמז על טרנספורמציות אינטגרליות של הפונקציה. ללא קשר לאופן קבלת ההמרה, יש לציין שני מספרים עבור כל תדר: משרעת ותדר. ערכים אלה מבוטאים כמספר מרוכב יחיד. תורת הביטויים של משתנים מורכבים, יחד עם טרנספורמציה פורייה, אפשרו לבצע חישובים בתכנון מעגלים חשמליים שונים, ניתוח רעידות מכניות, חקר מנגנון התפשטות הגל ועוד.
Fourier Transform Today
היום, המחקר של תהליך זה מצטמצם בעיקר כדי למצוא יעילשיטות מעבר מפונקציה לצורתה שעברה טרנספורמציה ולהיפך. פתרון זה נקרא טרנספורמציה פורייה ישירה והפוכה. מה זה אומר? על מנת לקבוע את האינטגרל ולייצר טרנספורמציה ישירה של פורייה, ניתן להשתמש בשיטות מתמטיות, או אנליטיות. למרות העובדה שמתעוררים קשיים מסוימים בעת השימוש בהם בפועל, רוב האינטגרלים כבר נמצאו ונכללו בספרי עיון מתמטיים. ניתן להשתמש בשיטות מספריות לחישוב ביטויים שצורתם מבוססת על נתונים ניסיוניים, או פונקציות שהאינטגרלים שלהן אינם זמינים בטבלאות וקשה להציגן בצורה אנליטית.
לפני הופעת המחשבים, החישובים של טרנספורמציות כאלה היו מייגעים מאוד, הם דרשו ביצוע ידני של מספר רב של פעולות אריתמטיות, שהיו תלויות במספר הנקודות המתארות את פונקציית הגל. כדי להקל על החישובים, יש היום תוכניות מיוחדות שאפשרו ליישם שיטות אנליטיות חדשות. אז, בשנת 1965, ג'יימס קולי וג'ון טוקי יצרו תוכנה שזכתה לכינוי "המרת פורייה המהירה". זה מאפשר לך לחסוך זמן לחישובים על ידי הפחתת מספר ההכפלות בניתוח העקומה. שיטת המרת פורייה המהירה מבוססת על חלוקת העקומה למספר רב של ערכי מדגם אחידים. בהתאם לכך, מספר הכפלות מצטמצם בחצי עם אותה ירידה במספר הנקודות.
יישום טרנספורמציה פורייה
זההתהליך משמש בתחומי מדע שונים: בתורת המספרים, פיזיקה, עיבוד אותות, קומבינטוריקה, תורת ההסתברות, קריפטוגרפיה, סטטיסטיקה, אוקיינוסולוגיה, אופטיקה, אקוסטיקה, גיאומטריה ועוד. האפשרויות העשירות של היישום שלו מבוססות על מספר תכונות שימושיות, הנקראות "תכונות טרנספורמציה של פורייה". שקול אותם.
1. הטרנספורמציה של הפונקציה היא אופרטור ליניארי, ועם הנורמליזציה המתאימה היא יחידה. תכונה זו ידועה כמשפט פרסוואל, או באופן כללי משפט פלנצ'רל, או הדואליזם של פונטרייאגין.
2. השינוי הוא הפיך. יתרה מכך, לתוצאה ההפוכה יש כמעט אותה צורה כמו בפתרון הישיר.
3. ביטויי בסיס סינוסואידיים הם פונקציות מובחנות משלו. המשמעות היא שייצוג כזה משנה משוואות לינאריות עם מקדם קבוע לאלגבריות רגילות.
4. לפי משפט ה"קונבולוציה", תהליך זה הופך פעולה מורכבת לכפל יסודי.
5. ניתן לחשב במהירות את התמרת פורייה הבדידה במחשב באמצעות שיטת ה"מהירה".
זנים של טרנספורמציה פורייה
1. לרוב, מונח זה משמש לציון טרנספורמציה מתמשכת המספקת כל ביטוי שניתן לשילוב ריבועי כסכום של ביטויים מעריכי מורכבים עם תדרים ומשרעות זוויתיים ספציפיים. למין זה יש כמה צורות שונות, שיכולותנבדלים על ידי מקדמים קבועים. השיטה הרציפה כוללת טבלת המרה, אותה ניתן למצוא בספרי עיון מתמטיים. מקרה מוכלל הוא טרנספורמציה חלקית, שבאמצעותה ניתן להעלות את התהליך הנתון לעוצמה האמיתית הנדרשת.
2. המצב הרציף הוא הכללה של הטכניקה המוקדמת של סדרות פורייה המוגדרות עבור פונקציות או ביטויים מחזוריים שונים הקיימים בשטח מוגבל ומייצגים אותם כסדרות של סינוסואידים.
3. טרנספורמציה פורייה דיסקרטית. שיטה זו משמשת בטכנולוגיית מחשב לחישובים מדעיים ולעיבוד אותות דיגיטלי. כדי לבצע חישוב מסוג זה, נדרשות פונקציות שמגדירות נקודות בודדות, אזורים תקופתיים או מוגבלים על קבוצה בדיד במקום אינטגרלי פורייה רציפים. שינוי האות במקרה זה מיוצג כסכום הסינוסואידים. יחד עם זאת, השימוש בשיטת ה"מהיר" מאפשר ליישם פתרונות דיסקרטיים לכל בעיה פרקטית.
4. טרנספורמציה פורייה עם חלונות היא צורה כללית של השיטה הקלאסית. בניגוד לפתרון הסטנדרטי, כאשר נעשה שימוש בספקטרום האותות, הנלקח בטווח המלא של קיומו של משתנה נתון, כאן יש עניין מיוחד רק התפלגות התדרים המקומית, בתנאי שהמשתנה המקורי (זמן) נשמר.
5. טרנספורמציה פורייה דו מימדית. שיטה זו משמשת לעבודה עם מערכי נתונים דו מימדיים. במקרה זה, תחילה השינוי מתבצע בכיוון אחד, ולאחר מכן פנימהאחר.
מסקנה
היום, שיטת פורייה מושרשת היטב בתחומי מדע שונים. לדוגמה, בשנת 1962 התגלתה צורת הסליל הכפול של DNA באמצעות ניתוח פורייה בשילוב עם עקיפה של קרני רנטגן. האחרונים התמקדו בגבישים של סיבי DNA, כתוצאה מכך, התמונה שהתקבלה על ידי עקיפה של קרינה תועדה על סרט. תמונה זו נתנה מידע על ערך המשרעת בעת שימוש בטרנספורמציה של פורייה למבנה גבישי נתון. נתוני השלב הושגו על ידי השוואת מפת הדיפרקציה של ה-DNA עם מפות שהתקבלו מניתוח של מבנים כימיים דומים. כתוצאה מכך, ביולוגים שיקמו את מבנה הגביש - הפונקציה המקורית.
טרנספורמציות פורייה ממלאות תפקיד עצום בחקר הפיזיקה של חלל, מוליכים למחצה ופלזמה, אקוסטיקה של מיקרוגל, אוקינוגרפיה, מכ ם, סיסמולוגיה וסקרים רפואיים.
