מתמטיקה היא בעצם מדע מופשט, אם נתרחק ממושגים יסודיים. אז, על כמה תפוחים, אתה יכול לתאר חזותית את הפעולות הבסיסיות העומדות בבסיס המתמטיקה, אבל ברגע שמישור הפעילות מתרחב, העצמים האלה הופכים לבלתי מספיקים. האם מישהו ניסה לתאר פעולות על סטים אינסופיים על תפוחים? זה העניין, לא. ככל שהמושגים איתם פועלת המתמטיקה בשיפוטיה היו מורכבים יותר, כך נראה הביטוי החזותי שלהם, שיועד להקל על ההבנה, בעייתי יותר. עם זאת, לאושרם של התלמידים המודרניים ושל המדע בכלל, נגזרו חוגי אוילר, דוגמאות ואפשרויות מהם נשקול להלן.
קצת היסטוריה
ב-17 באפריל 1707, העולם נתן למדע לאונרד אוילר, מדען יוצא דופן שאי אפשר להפריז בתרומתו למתמטיקה, לפיזיקה, לבניית ספינות ואפילו לתיאוריית המוזיקה.
יצירותיו מוכרות ומבוקשות בכל העולם עד היום, למרות העובדה שהמדע אינו עומד מלכת. מעניינת במיוחד העובדה שמר אוילר לקח חלק ישיר בהיווצרות האסכולה הרוסית למתמטיקה גבוהה יותר, במיוחד מאז, לפי רצון הגורל, הוא חזר למדינתנו פעמיים. למדען הייתה יכולת ייחודית לבנות אלגוריתמים שקופים בהיגיון שלהם, מנתקים כל דבר מיותר ועוברים מהכלל לפרט בזמן הקצר ביותר. לא נפרט את כל יתרונותיו, שכן זה ייקח זמן לא מבוטל, ונפנה ישירות לנושא המאמר. הוא זה שהציע להשתמש בייצוג גרפי של פעולות על סטים. חוגי אוילר מסוגלים לדמיין את הפתרון של כל בעיה, אפילו המורכבת ביותר.
מה הטעם?
בפועל ניתן להשתמש במעגלי אוילר, שהסכמה שלהם מוצגת להלן, לא רק במתמטיקה, שכן המושג "סט" טבוע לא רק בדיסציפלינה זו. אז הם מיושמים בהצלחה בניהול.
התרשים שלמעלה מציג את היחסים של קבוצות A (מספרים אי-רציונליים), B (מספרים רציונליים) ו-C (מספרים טבעיים). העיגולים מראים שקבוצה C נכללת בקבוצה B, בעוד שקבוצה A אינה מצטלבת איתם בשום אופן. הדוגמה היא הפשוטה ביותר, אבל היא מסבירה בבירור את הפרטים של "יחסי קבוצות", שהם מופשטים מדי להשוואה אמיתית, ולו רק בגלל האינסוף שלהם.
אלגברה של היגיון
האזור הזהלוגיקה מתמטית פועלת עם הצהרות שיכולות להיות נכונות ושקריות כאחד. למשל, מהיסודי: המספר 625 מתחלק ב-25, המספר 625 מתחלק ב-5, המספר 625 הוא ראשוני. ההצהרה הראשונה והשנייה נכונות, בעוד שהאחרון שקרי. כמובן שבפועל הכל מסובך יותר, אבל המהות מוצגת בבירור. וכמובן, חוגי אוילר שוב מעורבים בפתרון, דוגמאות לשימוש בהן נוחות וחזותיות מכדי להתעלם מהן.
קצת תיאוריה:
- תנו לקבוצות A ו-B קיימות ואינן ריקות, ואז הפעולות הבאות של צומת, איחוד ושלילה מוגדרות עבורן.
- הצומת של קבוצות A ו-B מורכבת מאלמנטים השייכים בו-זמנית גם לקבוצה A וגם לקבוצה B.
- האיחוד של קבוצות A ו-B מורכב מאלמנטים השייכים לקבוצה A או לקבוצה B.
- השלילה של קבוצה A היא קבוצה שמורכבת מאלמנטים שאינם שייכים לקבוצה A.
כל זה מתואר שוב על ידי חוגי אוילר בלוגיקה, שכן בעזרתם כל משימה, ללא קשר למידת המורכבות, הופכת ברורה וחזותית.
האקסיומות של האלגברה של הלוגיקה
נניח ש-1 ו-0 קיימים ומוגדרים בקבוצה A, ואז:
- שלילת השלילה של קבוצה A היא קבוצה A;
- איחוד של קבוצה A עם not_A הוא 1;
- איחוד של קבוצה A עם 1 הוא 1;
- איחוד של קבוצה A עם עצמה הוא קבוצה A;
- איחוד של סט Aעם 0 יש קבוצה A;
- הצומת של קבוצה A עם not_A היא 0;
- הצומת של קבוצה A עם עצמה מוגדרת A;
- הצטלבות של קבוצה A עם 0 היא 0;
- הצומת של קבוצה A עם 1 מוגדר A.
מאפיינים בסיסיים של האלגברה של הלוגיקה
תנו לקבוצות A ו-B קיימות ואינן ריקות, אז:
- עבור ההצטלבות והאיחוד של קבוצות A ו-B, החוק הקומוטטיבי חל;
- חוק השילוב חל על ההצטלבות והאיחוד של קבוצות A ו-B;
- חוק חלוקתי חל על ההצטלבות והאיחוד של קבוצות A ו-B;
- שלילת החיתוך של קבוצות A ו-B היא חיתוך שלילות של קבוצות A ו-B;
- שלילת האיחוד של קבוצות A ו-B היא איחוד השלילות של קבוצות A ו-B.
להלן מציגים מעגלי אוילר, דוגמאות של חיתוך ואיחוד של קבוצות A, B ו-C.
Prospects
עבודותיו של ליאונרד אוילר נחשבות בצדק לבסיס של המתמטיקה המודרנית, אך כעת נעשה בהן שימוש מוצלח בתחומי פעילות אנושית שהופיעו לאחרונה יחסית, קחו למשל ממשל תאגידי: המעגלים, הדוגמאות והגרפים של אוילר מתארים את המנגנונים של מודלים לפיתוח, בין אם מדובר בגרסה רוסית או אנגלית-אמריקאית.
