חקר התכונות של מצב החומר המצטבר בגז הוא אחד התחומים החשובים של הפיזיקה המודרנית. בהתחשב בגזים בקנה מידה מיקרוסקופי, ניתן לקבל את כל הפרמטרים המקרוסקופיים של המערכת. מאמר זה יחשוף סוגיה חשובה של התיאוריה הקינטית המולקולרית של גזים: מהי התפלגות מקסוול של מולקולות במונחים של מהירויות.
רקע היסטורי
הרעיון של גז כמערכת של חלקיקים נעים מיקרוסקופיים מקורו ביוון העתיקה. לקח יותר מ-1700 שנה עד שהמדע פיתח אותו.
המייסד של התיאוריה המולקולרית-קינטית המודרנית (MKT) של גז הוא הוגן לשקול את דנייל ברנולי. בשנת 1738 פרסם עבודה בשם "הידרודינמיקה". בו התווה ברנולי את רעיונות ה-MKT שהיו בשימוש עד היום. אז, המדען האמין שגזים מורכבים מחלקיקים שנעים באקראי לכל הכיוונים. התנגשויות רבותחלקיקים עם דפנות כלי הדם נתפסים כנוכחות של לחץ בגזים. מהירויות החלקיקים קשורות קשר הדוק לטמפרטורת המערכת. הקהילה המדעית לא קיבלה את רעיונותיו הנועזים של ברנולי מכיוון שחוק שימור האנרגיה טרם נקבע.
לאחר מכן, מדענים רבים עסקו בבניית מודל קינטי של גזים. ביניהם, יש לציין את רודולף קלאוזיוס, אשר בשנת 1857 יצר מודל גז פשוט. בו, המדען הקדיש תשומת לב מיוחדת לנוכחות של דרגות חופש מתרגמות, סיבוביות ורטטיות במולקולות.
בשנת 1859, בחן את עבודתו של קלאוזיוס, ג'יימס מקסוול ניסח את מה שנקרא התפלגות מקסוול על מהירויות מולקולריות. למעשה, מקסוול אישר את הרעיונות של ה-MKT, וגיב אותם במנגנון מתמטי. לאחר מכן, לודוויג בולצמן (1871) הכליל את מסקנות התפלגות מקסוול. הוא הניח התפלגות סטטיסטית כללית יותר של מולקולות על פני מהירויות ואנרגיות. היא ידועה כיום בתור הפצת מקסוול-בולצמן.
גז אידיאלי. הנחות יסוד של ILC
כדי להבין מהי פונקציית ההפצה של Maxwell, עליך להבין בבירור את המערכות שעבורן פונקציה זו מתאימה. אנחנו מדברים על גז אידיאלי. בפיזיקה, מושג זה מובן כחומר נוזלי, המורכב מחלקיקים חסרי מימד כמעט שאין להם אנרגיה פוטנציאלית. חלקיקים אלה נעים במהירויות גבוהות, ולכן התנהגותם נקבעת לחלוטין על ידי אנרגיה קינטית. יתר על כן, המרחקים בין החלקיקים גדולים מדי עבורבהשוואה לגדלים שלהם, כך שהאחרונים מוזנחים.
גזים אידיאליים מתוארים בתוך ה-MKT. ההנחות העיקריות שלו הן כדלקמן:
- מערכות גז מורכבות ממספר עצום של חלקיקים חופשיים;
- חלקיקים נעים באקראי במהירויות שונות בכיוונים שונים לאורך מסלולים ישרים;
- חלקיקים מתנגשים בדפנות כלי הדם בצורה אלסטית (הסבירות שחלקיקים יתנגשו זה בזה נמוכה בשל גודלם הקטן);
- הטמפרטורה של המערכת נקבעת באופן ייחודי על ידי האנרגיה הקינטית הממוצעת של החלקיקים, שנשמרת בזמן אם נוצר שיווי משקל תרמודינמי במערכת.
חוק ההפצה של מקסוול
אם לאדם היה מכשיר שבאמצעותו ניתן היה למדוד את המהירות של מולקולת גז בודדת, אז, לאחר ביצוע ניסוי מתאים, הוא היה מופתע. הניסוי יראה שכל מולקולה של מערכת גזים כלשהי נעה במהירות שרירותית לחלוטין. במקרה זה, במסגרת מערכת אחת בשיווי משקל תרמי עם הסביבה, יתגלו מולקולות איטיות מאוד וגם מהירות מאוד.
חוק התפלגות המהירות של מולקולות גז של מקסוול הוא כלי המאפשר לך לקבוע את ההסתברות לגילוי חלקיקים עם מהירות נתונה v במערכת הנחקרת. הפונקציה המתאימה נראית כך:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
בביטוי זה, m -מסת חלקיק (מולקולה), k - קבוע בולצמן, T - טמפרטורה מוחלטת. לפיכך, אם האופי הכימי של החלקיקים (הערך של m) ידוע, אזי הפונקציה f(v) נקבעת באופן ייחודי על ידי הטמפרטורה המוחלטת. הפונקציה f(v) נקראת צפיפות ההסתברות. אם ניקח ממנו את האינטגרל עבור מגבלת מהירות כלשהי (v; v+dv), אז נקבל את מספר החלקיקים Ni, שיש להם מהירויות במרווח שצוין. בהתאם לכך, אם ניקח את האינטגרל של צפיפות ההסתברות f(v) עבור גבולות המהירות מ-0 עד ∞, אז נקבל את המספר הכולל של מולקולות N במערכת.
ייצוג גרפי של צפיפות ההסתברות f(v)
לפונקציית צפיפות ההסתברות יש צורה מתמטית מורכבת במקצת, כך שלא קל לייצג את התנהגותה בטמפרטורה נתונה. ניתן לפתור בעיה זו אם מתארים אותה על גרף דו מימדי. תצוגה סכמטית של גרף התפלגות מקסוול מוצגת להלן באיור.
אנו רואים שהוא מתחיל מאפס, מכיוון שלמהירות v של מולקולות אין ערכים שליליים. הגרף מסתיים איפשהו באזור המהירויות הגבוהות, ויורד בצורה חלקה לאפס (f(∞)->0). התכונה הבאה בולטת גם היא: העקומה החלקה א-סימטרית, היא יורדת בצורה חדה יותר במהירויות קטנות.
תכונה חשובה בהתנהגות של פונקציית צפיפות ההסתברות f(v) היא נוכחות של מקסימום מבוטא אחד עליה. לפי המשמעות הפיזיקלית של הפונקציה, מקסימום זה מתאים לערך הסביר ביותר של מהירויות המולקולות בגזsystem.
מהירויות חשובות עבור הפונקציה f(v)
פונקציית צפיפות ההסתברות f(v) והייצוג הגרפי שלה מאפשרים לנו להגדיר שלושה סוגים חשובים של מהירות.
סוג המהירות הראשון המובן מאליו שהוזכר לעיל הוא המהירות הסבירה ביותר v1. בגרף, הערך שלו מתאים למקסימום של הפונקציה f(v). המהירות הזו והערכים הקרובים אליה הם שיהיו רוב חלקיקי המערכת. לא קשה לחשב את זה, בשביל זה מספיק לקחת את הנגזרת הראשונה ביחס למהירות הפונקציה f(v) ולהשוות אותה לאפס. כתוצאה מפעולות מתמטיות אלו, אנו מקבלים את התוצאה הסופית:
v1=√(2RT/M).
כאן R הוא קבוע הגז האוניברסלי, M הוא המסה המולרית של מולקולות.
הסוג השני של מהירות הוא הערך הממוצע שלה עבור כל N חלקיקים. בואו נסמן את זה v2. ניתן לחשב אותו על ידי שילוב הפונקציה vf(v) על כל המהירויות. התוצאה של השילוב שצוין תהיה הנוסחה הבאה:
v2=√(8RT/(piM)).
מכיוון שהיחס הוא 8/pi>2, המהירות הממוצעת תמיד מעט גבוהה מהמהירות הסבירה ביותר.
כל מי שיודע קצת בפיזיקה מבין שלמהירות הממוצעת v2 של מולקולות חייבת להיות חשיבות רבה במערכת גז. עם זאת, זוהי הנחה מוטעית. הרבה יותר חשוב היא מהירות ה-RMS. בואו נסמן את זהv3.
לפי ההגדרה, מהירות שורש-ממוצע-ריבוע היא סכום ריבועי המהירויות הבודדות של כל החלקיקים, לחלק במספר החלקיקים הללו, ונלקח מתחת לשורש הריבועי. ניתן לחשב אותו עבור התפלגות מקסוול אם נגדיר את האינטגרל על כל המהירויות של הפונקציה v2f(v). הנוסחה למהירות הריבועית הממוצעת תהיה בצורה:
v3=√(3RT/M).
Equality מראה שמהירות זו גדולה מ-v2 ו-v1 עבור כל מערכת גז.
לכן, כל סוגי המהירויות הנחשבות בגרף ההתפלגות של מקסוול נמצאים בקצה הקיצוני או מימין לו.
החשיבות של v3
צוין לעיל שמהירות הריבוע הממוצעת חשובה יותר להבנת התהליכים הפיזיקליים והמאפיינים של מערכת הגז מאשר המהירות הממוצעת הפשוטה v2. זה נכון, מכיוון שהאנרגיה הקינטית של גז אידיאלי תלויה בדיוק ב-v3, ולא ב-v2.
אם ניקח בחשבון גז אידיאלי מונוטומי, אז הביטוי הבא תקף עבורו:
mv32/2=3/2kT.
כאן, כל חלק של המשוואה מייצג את האנרגיה הקינטית של חלקיק אחד במסה m. מדוע הביטוי מכיל בדיוק את הערך v3, ולא את המהירות הממוצעת v2? פשוט מאוד: כשקובעים את האנרגיה הקינטית של כל חלקיק, המהירות האינדיבידואלית שלו v מרוחקת בריבוע, ואז כל המהירויותמתווספים ומחלקים במספר החלקיקים N. כלומר, עצם ההליך לקביעת האנרגיה הקינטית מוביל לערך המהירות המרובעת הממוצעת.
תלות הפונקציה f(v) בטמפרטורה
קבענו לעיל שצפיפות ההסתברות של מהירויות מולקולריות תלויה באופן ייחודי בטמפרטורה. כיצד תשתנה הפונקציה אם T יוגדל או יקטן? התרשים שלהלן יעזור לענות על שאלה זו.
ניתן לראות שחימום המערכת הסגורה מוביל למריחה של הפסגה ולהסטה שלה לעבר מהירויות גבוהות יותר. עלייה בטמפרטורה מביאה לעלייה בכל סוגי המהירויות ולירידה בצפיפות ההסתברות של כל אחת מהן. ערך השיא יורד עקב שימור מספר החלקיקים N במערכת סגורה.
לאחר מכן, נפתור כמה בעיות כדי לאחד את החומר התיאורטי שהתקבל.
בעיה עם מולקולות חנקן באוויר
יש צורך לחשב את המהירויות v1, v2 ו-v3 לחנקן אוויר בטמפרטורה של 300 K (כ-27 oC).
המסה המולרית של חנקן N2 היא 28 גרם/מול. באמצעות הנוסחאות לעיל, נקבל:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
בעיית מיכל חמצן
החמצן בצילינדר היה בטמפרטורה מסוימת T1. לאחר מכן הונח הבלון בחדר קר יותר. כיצד תשתנה עלילת חלוקת מהירות מקסוול עבור מולקולות חמצן כאשר המערכת תגיע לשיווי משקל תרמודינמי?
לזכור את התיאוריה, נוכל לענות על שאלת הבעיה כך: הערכים של כל סוגי המהירויות של מולקולות יפחתו, שיא הפונקציה f(v) יעבור שמאלה, נעשה צר וגבוה יותר.
