לפתרון משוואות במתמטיקה יש מקום מיוחד. לתהליך זה קודמות שעות רבות של לימוד התאוריה, במהלכן לומד התלמיד כיצד לפתור משוואות, לקבוע את צורתן ולהביא את המיומנות לאוטומטיזם מלא. עם זאת, החיפוש אחר שורשים לא תמיד הגיוני, שכן ייתכן שהם פשוט לא קיימים. ישנן שיטות מיוחדות למציאת שורשים. במאמר זה ננתח את הפונקציות העיקריות, היקפם, וכן מקרים שבהם השורשים שלהם נעדרים.
לאיזו משוואה אין שורשים?
למשוואה אין שורשים אם אין ארגומנטים אמיתיים כאלה x שעבורם המשוואה נכונה באופן זהה. עבור מי שאינו מומחה, הניסוח הזה, כמו רוב המשפטים והנוסחאות המתמטיות, נראה מאוד מעורפל ומופשט, אבל זה בתיאוריה. בפועל, הכל הופך לפשוט ביותר. לדוגמה: למשוואה 0x=-53 אין פתרון, מכיוון שאין מספר כזה x, שהמכפלה שלו עם אפס תיתן משהו אחר מאשר אפס.
עכשיו נסתכל על הסוגים הבסיסיים ביותר של משוואות.
1. משוואה לינארית
משואה נקראת לינארית אם החלק הימני והשמאלי שלה מיוצגים כפונקציות לינאריות: ax + b=cx + d או בצורה כללית kx + b=0. כאשר a, b, c, d ידועים מספרים, ו-x הוא כמות לא ידועה. לאיזו משוואה אין שורשים? דוגמאות למשוואות ליניאריות מוצגות באיור שלהלן.
בעיקרון, משוואות ליניאריות נפתרות על ידי העברת חלק המספר לחלק אחד ותוכן x לחלק השני. מסתבר שמשוואה בצורת mx \u003d n, כאשר m ו-n הם מספרים, ו-x הוא לא ידוע. כדי למצוא את x, מספיק לחלק את שני החלקים ב-m. אז x=n/m. בעיקרון, למשוואות ליניאריות יש רק שורש אחד, אבל יש מקרים שבהם יש שורשים רבים עד אינסוף או שאין בכלל שורשים. כאשר m=0 ו-n=0, המשוואה מקבלת את הצורה 0x=0. כל מספר בהחלט יהיה הפתרון למשוואה כזו.
אבל לאיזו משוואה אין שורשים?
כאשר m=0 ו-n=0, למשוואה אין שורשים מקבוצת המספרים הממשיים. 0x=-1; 0x=200 - למשוואות האלה אין שורשים.
2. משוואה ריבועית
משוואה ריבועית היא משוואה בצורת ax2 + bx + c=0 עבור a=0. הדרך הנפוצה ביותר לפתור משוואה ריבועית היא לפתור אותה דרך המפלה. הנוסחה למציאת המבחין של משוואה ריבועית: D=b2 - 4ac. אז יש שני שורשים x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
כאשר D > 0 למשוואה יש שני שורשים, כאשר D=0 - שורש אחד. אבל לאיזו משוואה ריבועית אין שורשים?הדרך הקלה ביותר לראות את מספר השורשים של משוואה ריבועית היא על גרף של פונקציה, שהיא פרבולה. ב-> 0 הענפים מופנים כלפי מעלה, ב-< 0 הענפים מורידים למטה. אם המבחין שלילי, למשוואה ריבועית כזו אין שורשים בקבוצת המספרים הממשיים.
אתה יכול גם לקבוע חזותית את מספר השורשים מבלי לחשב את המבחין. לשם כך, עליך למצוא את החלק העליון של הפרבולה ולקבוע לאיזה כיוון מכוונים הענפים. ניתן לקבוע את קואורדינטת ה-x של קודקוד באמצעות הנוסחה: x0 =-b / 2a. במקרה זה, קואורדינטת ה-y של הקודקוד נמצאת על ידי החלפת הערך x0 במשוואה המקורית.
למשוואה הריבועית x2 – 8x + 72=0 אין שורשים כי יש לה אבחנה שלילית D=(–8)2 - 4172=-224. המשמעות היא שהפרבולה לא נוגעת בציר ה-x והפונקציה לעולם לא לוקחת את הערך 0, ומכאן שלמשוואה אין שורשים אמיתיים.
3. משוואות טריגונומטריות
פונקציות טריגונומטריות נחשבות במעגל טריגונומטרי, אך יכולות להיות מיוצגות גם במערכת קואורדינטות קרטזית. במאמר זה, נבחן שתי פונקציות טריגונומטריות בסיסיות והמשוואות שלהן: sinx ו- cosx. מכיוון שפונקציות אלו יוצרות מעגל טריגונומטרי עם רדיוס 1, |sinx| ו- |cosx| לא יכול להיות גדול מ-1. אז לאיזו משוואת סינקס אין שורשים? שקול את הגרף של פונקציית sinx המוצגת בתמונהלמטה.
אנו רואים שהפונקציה היא סימטרית ויש לה תקופת חזרה של 2pi. בהתבסס על זה, אנו יכולים לומר שהערך המקסימלי של פונקציה זו יכול להיות 1, והמינימום -1. לדוגמה, לביטוי cosx=5 לא יהיו שורשים, מכיוון שהמודולו שלו גדול מאחד.
זו הדוגמה הפשוטה ביותר של משוואות טריגונומטריות. למעשה, הפתרון שלהם יכול לקחת עמודים רבים, שבסופם אתה מבין שהשתמשת בנוסחה הלא נכונה ואתה צריך להתחיל הכל מחדש. לפעמים, גם עם מציאת השורשים הנכונה, אפשר לשכוח לקחת בחשבון את ההגבלות על ה-ODZ, ולכן מופיע בתשובה שורש או מרווח נוסף, וכל התשובה הופכת לשגוי. לכן, הקפידו על כל ההגבלות, כי לא כל השורשים מתאימים להיקף המשימה.
4. מערכות משוואות
מערכת של משוואות היא קבוצה של משוואות בשילוב עם סוגריים מתולתלים או מרובעים. פלטה מתולתלת מציינת את הביצוע המשותף של כל המשוואות. כלומר, אם לפחות לאחת מהמשוואות אין שורשים או סותרת את השנייה, לכל המערכת אין פתרון. סוגריים מרובעים מציינים את המילה "או". זה אומר שאם לפחות לאחת מהמשוואות של המערכת יש פתרון, אז לכל המערכת יש פתרון.
התשובה של המערכת עם סוגריים מרובעים היא מכלול כל השורשים של המשוואות הבודדות. ולמערכות עם פלטות מתולתלות יש רק שורשים משותפים. מערכות משוואות יכולות לכלול פונקציות מגוונות לחלוטין, כך שהמורכבות הזו לאמאפשר לך לדעת מיד לאיזו משוואה אין שורשים.
הכללה וטיפים למציאת שורשי המשוואה
בספרי בעייתיות ובספרי לימוד יש סוגים שונים של משוואות: כאלה שיש להם שורשים, וכאלה שאין להם. קודם כל, אם אתה לא מוצא שורשים, אל תחשוב שהם בכלל לא קיימים. ייתכן שעשית טעות איפשהו, אז פשוט בדוק שוב את הפתרון שלך.
כיסינו את המשוואות הבסיסיות ביותר ואת סוגיהן. עכשיו אתה יכול לדעת לאיזו משוואה אין שורשים. ברוב המקרים, זה בכלל לא קשה לעשות. כדי להגיע להצלחה בפתרון משוואות, נדרשים רק קשב וריכוז. תתאמן יותר, זה יעזור לך לנווט בחומר הרבה יותר טוב ומהיר.
לכן, למשוואה אין שורשים אם:
- במשוואה הליניארית mx=n הערך m=0 ו-n=0;
- במשוואה ריבועית אם המבחין קטן מאפס;
- במשוואה טריגונומטרית בצורה cosx=m / sinx=n, אם |m| > 0, |n| > 0;
- במערכת של משוואות עם סוגריים מסולסלים אם לפחות משוואה אחת ללא שורשים, ועם סוגריים מרובעים אם לכל המשוואות אין שורשים.
