התקדמות האנושות נובעת בעיקר מהגילויים שגילו גאונים. אחד מהם הוא בלייז פסקל. הביוגרפיה היצירתית שלו שוב מאשרת את אמיתות הביטוי של ליון פויכטונגר "אדם מוכשר, מוכשר בכל דבר". קשה לספור את כל ההישגים המדעיים של המדען הגדול הזה. ביניהם אחת ההמצאות האלגנטיות בעולם המתמטיקה - המשולש של פסקל.
כמה מילים על גאונות
בלייז פסקל מת מוקדם בסטנדרטים מודרניים, בגיל 39. עם זאת, בחייו הקצרים הוא הבחין כפיזיקאי מצטיין, מתמטיקאי, פילוסוף וסופר. צאצאים אסירי תודה קראו לכבודו את יחידת הלחץ ואת שפת התכנות הפופולרית פסקל. זה שימש כבר כמעט 60 שנה כדי ללמד איך לכתוב קודים שונים. לדוגמה, בעזרתו, כל תלמיד יכול לכתוב תוכנית לחישוב שטח משולש בפסקל, כמו גם לחקור את תכונות המעגל, בערךאשר יידונו להלן.
פעילותו של מדען זה בעל חשיבה יוצאת דופן משתרעת על מגוון רחב של תחומי מדע. במיוחד, בלייז פסקל הוא אחד ממייסדי ההידרוסטטיקה, ניתוח מתמטי, כמה תחומים של גיאומטריה ותורת ההסתברות. כמו כן, הוא:
- יצר מחשבון מכני המכונה גלגל פסקל;
- סיפק ראיות ניסיוניות לכך שלאוויר יש גמישות ומשקל;
- קבע שניתן להשתמש בברומטר כדי לחזות את מזג האוויר;
- המציא את המריצה;
- המציא את האומניבוס - כרכרות רתומות לסוסים עם מסלולים קבועים, שהפך מאוחר יותר לסוג הראשון של תחבורה ציבורית רגילה וכו'.
המשולש האריתמטי של פסקל
כפי שכבר הוזכר, המדען הצרפתי הגדול הזה תרם תרומה עצומה למדע המתמטי. אחת מיצירות המופת המדעיות המוחלטות שלו היא "מסכת המשולש האריתמטי", המורכבת ממקדמים בינומיים המסודרים בסדר מסוים. תכונותיה של תכנית זו בולטות בגיוון שלהן, והיא עצמה מאשרת את הפתגם "הכל גאוני פשוט!".
קצת היסטוריה
למען ההגינות, יש לומר שלמעשה המשולש של פסקל היה ידוע באירופה כבר בתחילת המאה ה-16. במיוחד ניתן לראות את דמותו על כריכת ספר חשבון מאת האסטרונום המפורסם פיטר אפיאן מאוניברסיטת אינגולשטאט. משולש דומה מוצג גם כהמחשה.בספר של המתמטיקאי הסיני יאנג הואי, שפורסם ב-1303. גם המשורר והפילוסוף הפרסי המדהים עומר כיאם היה מודע לתכונותיו בתחילת המאה ה-12. יתרה מכך, מאמינים שהוא פגש אותו מחיבורים של מדענים ערבים והודים שנכתבו קודם לכן.
Description
לפני בחינת המאפיינים המעניינים ביותר של המשולש של פסקל, היפה בשלמותו ובפשטותו, כדאי לדעת מה זה.
באופן מדעי, סכמה מספרית זו היא טבלה משולשת אינסופית שנוצרה ממקדמים בינומיים המסודרים בסדר מסוים. בראשו ובצדדיו נמצאים המספרים 1. את המיקומים הנותרים תופסים מספרים השווים לסכום שני המספרים הממוקמים מעליהם זה ליד זה. יתר על כן, כל הקווים של המשולש של פסקל הם סימטריים סביב הציר האנכי שלו.
תכונות בסיסיות
המשולש של פסקל מכה בשלמותו. עבור כל שורה שמספרה n (n=0, 1, 2…) נכון:
- המספר הראשון והאחרון הם 1;
- שני ולפני אחרון - n;
- המספר השלישי שווה למספר המשולש (מספר המעגלים שניתן לסדר במשולש שווה צלעות, כלומר 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- המספר הרביעי הוא טטרהדרלי, כלומר הוא פירמידה עם משולש בבסיס.
בנוסף, לאחרונה יחסית, ב-1972, הוקם נכס נוסף של המשולש של פסקל. על מנת לוכדי לברר, עליך לכתוב את המרכיבים של סכימה זו בצורה של טבלה עם הזזת שורה ב-2 עמדות. לאחר מכן שים לב למספרים המתחלקים במספר השורה. מסתבר שמספר העמודה בה מודגשות כל המספרים הוא מספר ראשוני.
ניתן לעשות את אותו טריק בדרך אחרת. לשם כך, במשולש של פסקל, המספרים מוחלפים בשאריות החלוקה שלהם במספר השורה בטבלה. ואז הקווים מסודרים במשולש שנוצר כך שהבא הבא מתחיל 2 עמודות ימינה מהאלמנט הראשון של הקודם. אז העמודות עם מספרים שהם מספרים ראשוניים יהיו מורכבים מאפסים בלבד, ואלה עם מספרים מורכבים יכללו לפחות אפס אחד.
חיבור עם הבינומי של ניוטון
כפי שאתה יודע, זהו שמה של הנוסחה להתרחבות למונחים של חזקת מספר שלם לא שלילי של סכום שני משתנים, שנראית כך:
המקדמים הקיימים בהם שווים ל-C m =n! / (m! (n - m)!), כאשר m הוא המספר הסידורי בשורה n של המשולש של פסקל. במילים אחרות, עם הטבלה הזו בהישג יד, אתה יכול בקלות להעלות כל מספר לחזקה, לאחר שפירקת אותם קודם לכן לשני מונחים.
לכן, המשולש של פסקל והבינומי של ניוטון קשורים קשר הדוק.
Math Wonders
בחינה מדוקדקת של המשולש של פסקל מגלה ש:
- הסכום של כל המספרים בשורה עםהמספר הסידורי n (סופר מ-0) הוא 2;
- אם הקווים מיושרים לשמאל, אז סכומי המספרים הממוקמים לאורך האלכסונים של המשולש של פסקל, הולכים מלמטה למעלה ומשמאל לימין, שווים למספרי פיבונאצ'י;
- ה"אלכסון" הראשון מורכב ממספרים טבעיים לפי הסדר;
- כל אלמנט מהמשולש של פסקל, מופחת באחד, שווה לסכום כל המספרים הממוקמים בתוך המקבילית, המוגבלת על ידי האלכסונים השמאלי והימני המצטלבים במספר זה;
- בכל שורה בתרשים, סכום המספרים במקומות זוגיים שווה לסכום האלמנטים במקומות אי-זוגיים.
משולש סיירפינסקי
סכימה מתמטית מעניינת שכזו, די מבטיחה במונחים של פתרון בעיות מורכבות, מתקבלת על ידי צביעת המספרים הזוגיים של תמונת פסקל בצבע אחד, והמספרים האי-זוגיים בצבע אחר.
ניתן לבנות את משולש סיירפינסקי בדרך אחרת:
- בסכמת פסקל המוצללת, המשולש האמצעי נצבע מחדש בצבע אחר, שנוצר על ידי חיבור נקודות האמצע של הצדדים של המשולש המקורי;
- עשה בדיוק את אותו הדבר עם שלושה לא צבועים הממוקמים בפינות;
- אם ההליך נמשך ללא הגבלת זמן, התוצאה צריכה להיות דמות דו-צבעית.
התכונה המעניינת ביותר של משולש סיירפינסקי היא הדמיון העצמי שלו, שכן הוא מורכב מ-3 עותקים שלו, שמצטמצמים פי 2. זה מאפשר לנו לייחס את התוכנית הזו לעיקולים פרקטליים, והם, כפי שמוצג על ידי העדכנית האחרונההמחקר המתאים ביותר למידול מתמטי של עננים, צמחים, דלתות נהרות והיקום עצמו.
מספר משימות מעניינות
היכן משמש המשולש של פסקל? דוגמאות למשימות שניתן לפתור בעזרתה מגוונות למדי ושייכות לתחומי מדע שונים. בואו נסתכל על כמה מהמעניינות יותר.
בעיה 1. באיזו עיר גדולה המוקפת חומת מבצר יש רק שער כניסה אחד. בצומת הראשון הכביש הראשי מתפצל לשניים. אותו דבר קורה בכל אחד אחר. 210 איש נכנסים לעיר. בכל אחד מהצמתים שהם נפגשים, הם מחולקים לשניים. כמה אנשים יימצאו בכל צומת כאשר לא ניתן יהיה לשתף יותר. תשובתה היא קו 10 במשולש פסקל (נוסחת המקדם מוצגת למעלה), כאשר המספרים 210 ממוקמים משני צדי הציר האנכי.
משימה 2. יש 7 שמות של צבעים. אתה צריך לעשות זר של 3 פרחים. נדרש לברר בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת. בעיה זו היא מתחום הקומבינטוריקה. כדי לפתור אותה, נשתמש שוב במשולש של פסקל ונעלה על השורה ה-7 במיקום השלישי (מספור בשני המקרים מ-0) את המספר 35.
עכשיו אתה יודע מה הפילוסוף והמדען הצרפתי הגדול בלייז פסקל המציא. המשולש המפורסם שלו, בשימוש נכון, יכול להפוך למציל חיים אמיתי לפתרון בעיות רבות, במיוחד מהשטחקומבינטוריקה. בנוסף, ניתן להשתמש בו כדי לפתור תעלומות רבות הקשורות לפרקטלים.
