מילון ההסבר של אוז'גוב קובע כי מחומש הוא דמות גיאומטרית התחום על ידי חמישה קווים ישרים חותכים היוצרים חמש זוויות פנימיות, כמו גם כל עצם בעל צורה דומה. אם למצולע נתון יש את אותן צלעות וזוויות, אז הוא נקרא רגיל (מחומש).
מה מעניין בפנטגון רגיל?
בצורה זו נבנה הבניין הידוע של משרד ההגנה של ארצות הברית. מבין הפוליהדרות הרגילות הנפחיות, רק לדודקהדרון יש פנים בצורת מחומש. ובטבע, גבישים נעדרים לחלוטין, שפניהם יהיו דומים לפנטגון רגיל. בנוסף, דמות זו היא מצולע עם מספר מינימלי של פינות שלא ניתן להשתמש בהן כדי לרצף שטח. רק לפנטגון יש אותו מספר אלכסונים כמו הצדדים שלו. מסכים, זה מעניין!
מאפיינים ונוסחאות בסיסיות
שימוש בנוסחאות עבורמצולע רגיל שרירותי, אתה יכול לקבוע את כל הפרמטרים הדרושים שיש לפנטגון.
- זווית מרכזית α=360 / n=360/5=72°.
- זווית פנימית β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. בהתאם לכך, סכום הזוויות הפנימיות הוא 540°.
- היחס בין האלכסון לצד הוא (1+√5) /2, כלומר, "חתך הזהב" (בערך 1, 618).
- ניתן לחשב את אורך הצלע שיש לפנטגון רגיל באמצעות אחת משלוש נוסחאות, תלוי איזה פרמטר כבר ידוע:
- אם מעגל מוקף סביבו והרדיוס שלו R ידוע, אז a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- במקרה שבו מעגל עם רדיוס r רשום בחומש רגיל, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- קורה שבמקום רדיוסים ידוע ערכו של האלכסון D, אז הצלע נקבעת באופן הבא: a ≈ D/1, 618.
- השטח של מחומש רגיל נקבע, שוב, בהתאם לפרמטר שאנחנו יודעים:
- אם יש עיגול רשום או מוקף, אז נעשה שימוש באחת משתי נוסחאות:
S=(nar)/2=2, 5ar או S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
ניתן לקבוע את השטח גם על ידי ידיעת אורך הצלע a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
מחומש רגיל: בנייה
ניתן לבנות את הדמות הגיאומטרית הזו בדרכים שונות. לדוגמה, רשום אותו במעגל עם רדיוס נתון, או בנה אותו על בסיס צד צדדי נתון. רצף הפעולות תואר ב"יסודות אוקלידס" בסביבות 300 לפני הספירה. בכל מקרה, אנחנו צריכים מצפן וסרגל. שקול את שיטת הבנייה באמצעות עיגול נתון.
1. בחר רדיוס שרירותי וצייר עיגול, מסמן את מרכזו ב-O.
2. על קו המעגל, בחר נקודה שתשמש כאחד מקודקודי המחומש שלנו. תן לזה להיות נקודה A. חבר את הנקודות O ו-A עם קו ישר.
3. צייר קו דרך נקודה O בניצב לישר OA. ציין את המפגש של קו זה עם קו המעגל כנקודה B.
4. באמצע המרחק בין נקודות O ו-B, בנה נקודה C.
5. כעת צייר עיגול שמרכזו יהיה בנקודה C ואשר יעבור בנקודה A. מקום החיתוך שלו עם קו OB (הוא יהיה בתוך המעגל הראשון ממש) יהיה נקודה D.
6. בנה מעגל העובר דרך D, שמרכזו יהיה ב-A. יש לסמן את מקומות החיתוך שלו עם המעגל המקורי בנקודות E ו-F.
7. כעת בנה מעגל שמרכזו יהיה ב-E. עליך לעשות זאת כך שיעבור דרך A. החיתוך השני שלו של המעגל המקורי חייב להיות מסומן בנקודה G.
8. לבסוף, צייר עיגול דרך A במרכזו בנקודה F. סמן מפגש נוסף של המעגל המקורי עם נקודה H.
9. עכשיו נשארפשוט חבר את הקודקודים A, E, G, H, F. המחומש הרגיל שלנו יהיה מוכן!
