כאשר לומדים את התנהגות הגזים בפיזיקה, מוקדשת תשומת לב רבה לאיזו-תהליכים, כלומר מעברים כאלה בין מצבי המערכת, שבמהלכם נשמר פרמטר תרמודינמי אחד. עם זאת, קיים מעבר גז בין מצבים, שאינו איזו-תהליך, אך ממלא תפקיד חשוב בטבע ובטכנולוגיה. זהו תהליך אדיאבטי. במאמר זה נשקול זאת ביתר פירוט, תוך התמקדות במה הוא המעריך האדיאבטי של הגז.
תהליך אדיאבטי
לפי ההגדרה התרמודינמית, תהליך אדיאבטי מובן כמעבר כזה בין המצב ההתחלתי והסופי של המערכת, שכתוצאה מכך אין חילופי חום בין הסביבה החיצונית למערכת הנחקרת. תהליך כזה אפשרי בשני התנאים הבאים:
- מוליכות תרמית בין הסביבה החיצונית לביןהמערכת נמוכה מסיבה זו או אחרת;
- מהירות התהליך גבוהה, כך שלחילופי החום אין זמן להתרחש.
בהנדסה, המעבר האדיאבטי משמש הן לחימום הגז במהלך הדחיסה החדה שלו, והן לקירורו במהלך התפשטות מהירה. בטבע, המעבר התרמודינמי המדובר בא לידי ביטוי כאשר מסת אוויר עולה או יורדת במורד גבעה. עליות וירידות כאלה מובילות לשינוי בנקודת הטל באוויר ולמשקעים.
משוואת פואסון עבור הגז האידיאלי האדיאבטי
גז אידיאלי הוא מערכת שבה חלקיקים נעים באופן אקראי במהירויות גבוהות, אינם מקיימים אינטראקציה זה עם זה וחסרי ממדים. מודל כזה פשוט מאוד מבחינת התיאור המתמטי שלו.
לפי ההגדרה של תהליך אדיאבטי, ניתן לכתוב את הביטוי הבא בהתאם לחוק הראשון של התרמודינמיקה:
dU=-PdV.
במילים אחרות, גז, מתרחב או מתכווץ, אכן עובד PdV עקב שינוי תואם באנרגיה הפנימית שלו dU.
במקרה של גז אידיאלי, אם נשתמש במשוואת המדינה (חוק קלפיירון-מנדלייב), נוכל לקבל את הביטוי הבא:
PVγ=const.
השוויון הזה נקרא משוואת פואסון. אנשים שמכירים את פיזיקת הגז ישימו לב שאם הערך של γ שווה ל-1, אז משוואת פואסון תיכנס לחוק בויל-מריוט (איזותרמיתתהליך). עם זאת, טרנספורמציה כזו של המשוואות היא בלתי אפשרית, שכן γ עבור כל סוג של גז אידיאלי גדול מאחד. הכמות γ (גמא) נקראת האינדקס האדיאבטי של גז אידיאלי. בואו נסתכל מקרוב על המשמעות הפיזית שלו.
מהו המעריך האדיאבטי?
המעריך γ, המופיע במשוואת פואסון עבור גז אידיאלי, הוא היחס בין קיבולת החום בלחץ קבוע לאותו ערך, אבל כבר בנפח קבוע. בפיזיקה, קיבולת חום היא כמות החום שיש להעביר או לקחת ממערכת נתונה כדי שהיא תשנה את הטמפרטורה שלה ב-1 קלווין. נסמן את קיבולת החום האיזוברית בסימן CP, ואת קיבולת החום האיזובורית בסמל CV. אז השוויון מתקיים עבור γ:
γ=CP/CV.
מכיוון ש-γ תמיד גדול מאחד, הוא מראה כמה פעמים קיבולת החום האיזוברית של מערכת הגז הנחקרת חורגת מהמאפיין האיזוכורי הדומה.
יכולות חום של CP ו-CV
כדי לקבוע את המעריך האדיאבטי, יש להבין היטב את המשמעות של הכמויות CP ו-CV. לשם כך נערוך את הניסוי המחשבתי הבא: דמיינו שהגז נמצא במערכת סגורה בכלי בעל קירות מוצקים. אם הכלי מחומם, אז כל החום המועבר באופן אידיאלי יומר לאנרגיה הפנימית של הגז. במצב כזה, השוויון יהיה תקף:
dU=CVdT.
ערךCVמגדיר את כמות החום שיש להעביר למערכת כדי לחמם אותה איזוחורית ב-1 K.
עכשיו נניח שהגז נמצא בכלי עם בוכנה נעה. בתהליך חימום מערכת כזו, הבוכנה תנוע, ויבטיח שמירה על לחץ קבוע. מכיוון שהאנטלפיה של המערכת במקרה זה תהיה שווה למכפלת קיבולת החום האיזוברית והשינוי בטמפרטורה, החוק הראשון של התרמודינמיקה יקבל את הצורה:
CPdT=CVdT + PdV.
מכאן ניתן לראות ש-CP>CV, שכן במקרה של שינוי מצבים איזובארי יש צורך להוציא חום לא רק כדי להגביר את הטמפרטורה של המערכת, ומכאן את האנרגיה הפנימית שלה, אלא גם את העבודה שעשה הגז במהלך התפשטותו.
הערך של γ עבור גז מונוטומי אידיאלי
מערכת הגז הפשוטה ביותר היא גז אידיאלי מונוטומי. נניח שיש לנו שומה אחת של גז כזה. נזכיר כי בתהליך של חימום איזוברי של 1 מול גז על 1 קלווין בלבד, הוא אכן עובד שווה ל-R. סמל זה משמש בדרך כלל לציון קבוע הגז האוניברסלי. זה שווה ל-8, 314 J / (מולK). החלת הביטוי האחרון בפסקה הקודמת עבור מקרה זה, נקבל את השוויון הבא:
CP=CV+ R.
מהמקום שבו אתה יכול לקבוע את הערך של קיבולת חום איזוכורית CV:
γ=CP/CV;
CV=R/(γ-1).
ידוע שעבור שומה אחתגז מונוטומי, הערך של קיבולת החום האיזוכורית הוא:
CV=3/2R.
משני השוויון האחרון עוקב אחר הערך של המעריך האדיאבטי:
3/2R=R/(γ-1)=>
γ=5/3 ≈ 1, 67.
שימו לב שהערך של γ תלוי אך ורק בתכונות הפנימיות של הגז עצמו (באופי הפוליאטומי של המולקולות שלו) ואינו תלוי בכמות החומר במערכת.
תלות של γ במספר דרגות החופש
המשוואה לקיבולת החום האיזוכורית של גז מונוטומי נכתבה למעלה. המקדם 3/2 שהופיע בו קשור למספר דרגות החופש באטום אחד. יש לו את היכולת לנוע רק באחד משלושת כיווני המרחב, כלומר, יש רק דרגות תרגום של חופש.
אם המערכת נוצרת על ידי מולקולות דו-אטומיות, אזי מתווספות שתי דרגות סיבוביות נוספות לשלוש הטרנסלציות. לכן, הביטוי עבור CV הופך ל:
CV=5/2R.
אז הערך של γ יהיה:
γ=7/5=1, 4.
שימו לב שלמולקולה הדיאטומית יש למעשה עוד דרגת חופש רטט אחת, אבל בטמפרטורות של כמה מאות קלווין היא לא מופעלת ואינה תורמת ליכולת החום.
אם מולקולות גז מורכבות מיותר משני אטומים, אז יהיו להן 6 דרגות חופש. המעריך האדיאבטי במקרה זה יהיה שווה ל:
γ=4/3 ≈ 1, 33.
אזלפיכך, ככל שמספר האטומים במולקולת גז עולה, הערך של γ יורד. אם תבנה גרף אדיאבטי בצירי ה-P-V, תשים לב שהעקומה של גז מונוטומי תתנהג בצורה חדה יותר מאשר עבור אחד פוליאומי.
מעריך אדיאבטי לתערובת של גזים
הראינו לעיל שהערך של γ אינו תלוי בהרכב הכימי של מערכת הגז. עם זאת, זה תלוי במספר האטומים המרכיבים את המולקולות שלו. נניח שהמערכת מורכבת מ-N רכיבים. השבר האטומי של רכיב i בתערובת הוא i. לאחר מכן, כדי לקבוע את המעריך האדיאבטי של התערובת, תוכל להשתמש בביטוי הבא:
γ=∑i=1N(aiγ i).
כאשר γi הוא הערך γ עבור הרכיב ה-i.
לדוגמה, ניתן להשתמש בביטוי זה כדי לקבוע את γ של אוויר. מכיוון שהוא מורכב מ-99% מולקולות דו-אטומיות של חמצן וחנקן, האינדקס האדיאבטי שלו צריך להיות קרוב מאוד לערך של 1.4, דבר המאושר על ידי קביעה ניסיונית של ערך זה.
