אי אפשר לטעון שאתה יודע מתמטיקה אם אתה לא יודע לשרטט גרפים, לצייר אי-שוויון על קו קואורדינטות ולעבוד עם צירי קואורדינטות. המרכיב הוויזואלי במדע הוא חיוני, כי ללא דוגמאות ויזואליות בנוסחאות וחישובים, לפעמים אתה יכול מאוד להתבלבל. במאמר זה נראה כיצד לעבוד עם צירי קואורדינטות ונלמד כיצד לבנות גרפי פונקציות פשוטים.
Application
קו הקואורדינטות הוא הבסיס לסוגי הגרפים הפשוטים ביותר שתלמיד נתקל בדרכו החינוכית. הוא משמש כמעט בכל נושא מתמטי: בעת חישוב מהירות וזמן, הקרנת גודל של עצמים וחישוב שטחם, בטריגונומטריה בעבודה עם סינוסים וקוסינוסים.
הערך העיקרי של קו ישיר כזה הוא הנראות. מכיוון שמתמטיקה היא מדע שדורש רמה גבוהה של חשיבה מופשטת, גרפים עוזרים בייצוג אובייקט בעולם האמיתי. איך הוא מתנהג? באיזו נקודה בחלל יהיהכמה שניות, דקות, שעות? מה ניתן לומר על זה בהשוואה לחפצים אחרים? מה המהירות שלו בזמן שנבחר באקראי? איך לאפיין את התנועה שלו?
ואנחנו מדברים על מהירות מסיבה כלשהי - היא מוצגת לעתים קרובות על ידי גרפי פונקציות. והם יכולים גם להציג שינויים בטמפרטורה או בלחץ בתוך האובייקט, בגודלו, בכיוון שלו ביחס לאופק. לפיכך, לעתים קרובות נדרשת בניית קו קואורדינטות גם בפיזיקה.
גרף חד מימדי
יש מושג של רב-ממדיות. במרחב חד-ממדי מספיק מספר אחד כדי לקבוע את מיקומה של נקודה. זה בדיוק המקרה עם השימוש בקו הקואורדינטות. אם החלל הוא דו מימדי, אזי נדרשים שני מספרים. תרשימים מסוג זה משמשים לעתים קרובות יותר, ובהחלט נשקול אותם מעט בהמשך המאמר.
מה ניתן לראות בעזרת נקודות על הציר, אם יש רק ציר אחד? ניתן לראות את גודל העצם, מיקומו במרחב ביחס ל"אפס" כלשהו, כלומר הנקודה שנבחרה כנקודת הייחוס.
שינוי של פרמטרים לאורך זמן לא יהיה גלוי, מכיוון שכל הקריאות יוצגו לרגע מסוים. עם זאת, אתה צריך להתחיל איפשהו! אז בואו נתחיל.
איך לבנות ציר קואורדינטות
ראשית, עליך לצייר קו אופקי - זה יהיה הציר שלנו. בצד ימין, "לחדד" אותו כך שייראה כמו חץ. לפיכך, נציין את הכיוון שבו יהיו המספריםלהגביר. בכיוון מטה, החץ בדרך כלל אינו ממוקם. באופן מסורתי, הציר מצביע ימינה, אז פשוט נפעל לפי הכלל הזה.
בואו נקבע סימן אפס, שיציג את מקור הקואורדינטות. זה המקום שממנו נלקחת הספירה לאחור, בין אם זה גודל, משקל, מהירות או כל דבר אחר. בנוסף לאפס, עלינו להגדיר בהכרח את מה שנקרא מחיר החלוקה, כלומר, להציג תקן יחידה, לפיו נרשום כמויות מסוימות על הציר. יש לעשות זאת על מנת שניתן יהיה למצוא את אורך הקטע על קו הקואורדינטות.
במרחק שווה אחד מהשני, שים נקודות או "חריצים" על הקו, ומתחתיהם כתוב 1, 2, 3, בהתאמה, וכן הלאה. ועכשיו, הכל מוכן. אבל עם לוח הזמנים המתקבל, אתה עדיין צריך ללמוד איך לעבוד.
סוגי נקודות על קו הקואורדינטות
מהמבט ראשון בציורים המוצעים בספרי הלימוד, מתברר: ניתן למלא או לא למלא את הנקודות על הציר. אתה חושב שזה צירוף מקרים? בכלל לא! נקודה "מוצקה" משמשת לאי שוויון לא קפדני - כזה שנקרא "גדול או שווה ל". אם אנחנו צריכים להגביל לחלוטין את המרווח (לדוגמה, "x" יכול לקחת ערכים מאפס לאחד, אבל לא כולל אותו), נשתמש בנקודה "חלולה", כלומר, למעשה, מעגל קטן על הציר. יש לציין שסטודנטים לא ממש אוהבים אי-שוויון קפדני, כי קשה יותר לעבוד איתם.
תלוי באילו נקודות אתההשתמש בתרשים, המרווחים הבנויים ייקראו גם. אם אי השוויון בשני הצדדים אינו קפדני, אז נקבל קטע. אם מצד אחד יתברר שהוא "פתוח", אז זה ייקרא חצי מרווח. לבסוף, אם חלק של קו תחום משני הצדדים בנקודות חלולות, הוא ייקרא מרווח.
מטוס
כאשר בונים שני קווים ישרים במישור הקואורדינטות, אנו כבר יכולים לשקול את הגרפים של פונקציות. נניח שהקו האופקי הוא ציר הזמן, והקו האנכי הוא המרחק. ועכשיו אנחנו מסוגלים לקבוע איזה מרחק יתגבר האובייקט בדקה או שעת נסיעה. כך, עבודה עם מישור מאפשרת לעקוב אחר השינוי במצבו של עצם. זה הרבה יותר מעניין מאשר לחקור מצב סטטי.
הגרף הפשוט ביותר במישור כזה הוא קו ישר, הוא משקף את הפונקציה Y(X)=aX + b. האם הקו מתכופף? המשמעות היא שהאובייקט משנה את מאפייניו במהלך המחקר.
דמיין שאתה עומד על גג בניין אוחז באבן בידך המושטת. כשתשחרר אותו, הוא יעוף למטה, יתחיל את תנועתו ממהירות אפס. אבל תוך שנייה הוא יתגבר על 36 קילומטרים לשעה. האבן תמשיך להאיץ עוד יותר, וכדי לשרטט את תנועתה על התרשים, תצטרכו למדוד את מהירותה בכמה נקודות זמן על ידי קביעת נקודות על הציר במקומות המתאימים.
סימנים על קו הקואורדינטות האופקי כברירת מחדל נקראים X1, X2, X3, ובאנכי - Y1, Y2, Y3, בהתאמה. מקריןאותם אל המישור ומציאת צמתים, אנו מוצאים שברים של התבנית המתקבלת. מחברים אותם עם קו אחד, נקבל גרף של הפונקציה. במקרה של אבן נופלת, הפונקציה הריבועית תיראה כך: Y(X)=aXX + bX + c.
סולם
כמובן, אין צורך לשים ערכים שלמים ליד חלוקות בקו ישר. אם אתה שוקל תנועה של חילזון שזוחל במהירות של 0.03 מטר לדקה, הגדר כערכים על שבר הקואורדינטות. במקרה זה, הגדר את מרווח הסולם ל-0.01 מטר.
נוח במיוחד לבצע שרטוטים כאלה במחברת בתוך כלוב - כאן תוכלו לראות מיד אם יש מספיק מקום על הגיליון לתרשים שלכם, אם תעברו מהשוליים. זה לא קשה לחשב את החוזק שלך, כי רוחב התא במחברת כזו הוא 0.5 סנטימטר. זה לקח - הפחית את התמונה. שינויים בקנה המידה של התרשים לא יגרמו לו לאבד או לשנות את המאפיינים שלו.
קואורדינטות נקודה ופלח
כאשר ניתנת בעיית מתמטיקה בשיעור, היא יכולה להכיל פרמטרים של צורות גיאומטריות שונות, הן בצורת אורכי צלעות, היקף, שטח והן בצורת קואורדינטות. במקרה זה, ייתכן שתצטרך גם לבנות צורה וגם לקבל כמה נתונים הקשורים אליה. נשאלת השאלה: כיצד למצוא את המידע הנדרש על קו הקואורדינטות? ואיך בונים צורה?
לדוגמה, אנחנו מדברים על נקודה. לאחר מכן תופיע אות גדולה במצב הבעיה, ויופיעו מספר מספרים בסוגריים, לרוב שניים (זה אומר שנספר במרחב הדו-ממדי).אם יש שלושה מספרים בסוגריים, מופרדים בפסיק או בפסיק, אז זהו מרחב תלת מימדי. כל אחד מהערכים הוא קואורדינטה על הציר המתאים: תחילה לאורך האופקי (X), ואז לאורך האנכי (Y).
זוכר איך לצייר קטע? העברתם את זה בגיאומטריה. אם יש שתי נקודות, אז ניתן למתוח קו ביניהן. הקואורדינטות שלהם מסומנות בסוגריים אם מופיע קטע בבעיה. לדוגמה: A(15, 13) - B(1, 4). כדי לבנות קו כזה, אתה צריך למצוא ולסמן נקודות במישור הקואורדינטות, ולאחר מכן לחבר אותן. זהו!
וכל מצולע, כידוע, ניתן לצייר באמצעות קטעים. הבעיה נפתרה.
חישובים
נניח שיש עצם כלשהו שהמיקום שלו לאורך ציר ה-X מאופיין בשני מספרים: הוא מתחיל בנקודה עם הקואורדינטה (-3) ומסתיים ב-(+2). אם אנחנו רוצים לדעת את אורכו של עצם זה, אז עלינו להחסיר את המספר הקטן מהמספר הגדול. שימו לב שמספר שלילי סופג את סימן החיסור, כי "מינוס כפול מינוס שווה פלוס". אז נוסיף (2+3) ונקבל 5. זו התוצאה הנדרשת.
דוגמה נוספת: ניתן לנו את נקודת הסיום והאורך של האובייקט, אבל לא את נקודת ההתחלה (ואנחנו צריכים למצוא אותה). תנו למיקום הנקודה הידועה להיות (6), ולגודל האובייקט הנבדק יהיה (4). על ידי הפחתת האורך מהקואורדינטה הסופית, נקבל את התשובה. סה כ: (6 - 4)=2.
מספרים שליליים
לרוב נדרש בפועל לעבוד עם ערכים שליליים. במקרה זה נעשה זאתלנוע שמאלה לאורך ציר הקואורדינטות. לדוגמה, חפץ בגובה 3 סנטימטר צף במים. שליש ממנו טבול בנוזל, שני שליש באוויר. לאחר מכן, בבחירת פני המים כציר, נקבל שני מספרים באמצעות החישובים האריתמטיים הפשוטים ביותר: לנקודה העליונה של העצם יש את הקואורדינטה (+2), והתחתון - (-1) סנטימטר.
קל לראות שבמקרה של מטוס, יש לנו ארבעה רבעים מקו הקואורדינטות. לכל אחד מהם יש מספר משלו. בחלק הראשון (הימני העליון) יהיו נקודות בעלות שתי קואורדינטות חיוביות, בחלק השני - בצד שמאל למעלה - הערכים של ציר X יהיו שליליים, ולאורך ציר Y - חיוביים. השלישי והרביעי נספרים עוד נגד כיוון השעון.
נכס חשוב
אתה יודע שאפשר לייצג קו כמספר אינסופי של נקודות. אנו יכולים לראות בקפידה ככל שנרצה מספר ערכים בכל כיוון של הציר, אך לא נפגוש ערכים חוזרים. זה נראה נאיבי ומובן, אבל האמירה הזו נובעת מעובדה חשובה: כל מספר מתאים לנקודה אחת ויחידה על קו הקואורדינטות.
מסקנה
זכור שכל צירים, דמויות ואם אפשר גם גרפיקה חייבים להיות בנויים על סרגל. יחידות מדידה לא הומצאו על ידי אדם במקרה - אם אתה עושה שגיאה בעת הציור, אתה מסתכן לראות תמונה שונה ממה שהיה צריך להיות.
היזהר ומדויק בהתווים ובחישובים. כמו כל מדע שנלמד בבית הספר, מתמטיקה אוהבת דיוק. תתאמץ קצת וטובההערכות לא יאחרו לבוא.
