כאשר לומדים את המאפיינים של משוואה ריבועית, נקבעה הגבלה - עבור מבחין פחות מאפס, אין פתרון. מיד נקבע כי מדובר בקבוצה של מספרים ממשיים. מוחו החקרני של מתמטיקאי יתעניין - מהו הסוד הכלול בסעיף לגבי ערכים אמיתיים?
עם הזמן, מתמטיקאים הציגו את המושג של מספרים מרוכבים, שבו הערך המותנה של השורש השני של מינוס אחד נלקח כיחידה.
רקע היסטורי
התיאוריה המתמטית מתפתחת ברצף, מפשוטה למורכבת. בואו נבין כיצד נוצר המושג שנקרא "מספר מורכב" ומדוע הוא נחוץ.
מימי קדם, הבסיס למתמטיקה היה החשבון הרגיל. החוקרים הכירו רק את מערכת הערכים הטבעית. חיבור וחיסור היו פשוטים. ככל שהיחסים הכלכליים נעשו מורכבים יותר, החלו להשתמש בכפל במקום להוסיף את אותם ערכים. יש פעולה הפוכה לכפל - חילוק.
המושג של מספר טבעי הגביל את השימוש בפעולות אריתמטיות. אי אפשר לפתור את כל בעיות החלוקה במערך הערכים שלמים. עבודה עם שברים הובילה תחילה למושג ערכים רציונליים, ולאחר מכן לערכים לא רציונליים. אם עבור הרציונל אפשר לציין את המיקום המדויק של הנקודה על הקו, אז עבור האי-רציונלי אי אפשר לציין נקודה כזו. אתה יכול רק להעריך את המרווח. האיחוד של מספרים רציונליים ואי-רציונליים יצר קבוצה ממשית, שניתן לייצג אותה כקו מסוים עם סולם נתון. כל צעד לאורך הקו הוא מספר טבעי, וביניהם ערכים רציונליים ואי-רציונליים.
עידן המתמטיקה התיאורטית החל. התפתחות האסטרונומיה, המכניקה, הפיזיקה דרשה פתרון של משוואות מורכבות יותר ויותר. באופן כללי נמצאו שורשי המשוואה הריבועית. בעת פתרון פולינום מעוקב מורכב יותר, מדענים נתקלו בסתירה. המושג שורש קובייה משלילי הגיוני, אבל עבור שורש ריבועי מתקבלת אי ודאות. יתרה מכך, המשוואה הריבועית היא רק מקרה מיוחד של המשוואה המעוקבת.
בשנת 1545, האיטלקי J. Cardano הציע להציג את המושג של מספר דמיוני.
מספר זה הוא השורש השני של מינוס אחד. המונח מספר מרוכב נוצר לבסוף רק שלוש מאות שנים מאוחר יותר, בעבודותיו של המתמטיקאי המפורסם גאוס. הוא הציע להרחיב רשמית את כל חוקי האלגברה למספר הדמיוני. הקו האמיתי הוארך למטוסים. העולם גדול יותר.
מושגים בסיסיים
זכור מספר פונקציות שיש להן הגבלות על הסט האמיתי:
- y=arcsin(x), מוגדר בין שלילי לחיובי 1.
- y=ln(x), לוגריתם עשרוני הגיוני עם ארגומנטים חיוביים.
- שורש ריבועי y=√x, מחושב רק עבור x ≧ 0.
מציין i=√(-1), אנו מציגים מושג כזה כמספר דמיוני, זה יסיר את כל ההגבלות מתחום ההגדרה של הפונקציות לעיל. ביטויים כמו y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) הגיוניים במרחב מסוים של מספרים מרוכבים.
ניתן לכתוב את הצורה האלגברית כביטוי z=x + i×y בקבוצה של ערכי x ו-y אמיתיים, ו-i2 =-1.
המושג החדש מסיר את כל ההגבלות על השימוש בכל פונקציה אלגברית ודומה לגרף של קו ישר בקואורדינטות של ערכים אמיתיים ודמיוניים.
מטוס מורכב
הצורה הגיאומטרית של מספרים מרוכבים מאפשרת לנו לייצג הרבה מהמאפיינים שלהם. על ציר Re(z) נסמן את ערכי ה-x האמיתיים, על ה-Im(z) - הערכים הדמיוניים של y, ואז נקודת z במישור תציג את הערך המורכב הנדרש.
הגדרות:
- Re(z) - ציר אמיתי.
- Im(z) - פירושו הציר הדמיוני.
- z - נקודה מותנית של מספר מרוכב.
- הערך המספרי של אורך הווקטור מאפס עד z נקראמודול.
- צירים אמיתיים ודמיוניים מחלקים את המטוס לרבעים. עם ערך חיובי של הקואורדינטות - אני רבע. כאשר הטיעון של הציר הממשי קטן מ-0, והציר הדמיוני גדול מ-0 - II רבע. כאשר הקואורדינטות שליליות - רבע שלישי. הרבעון האחרון והרביעי מכיל הרבה ערכים אמיתיים חיוביים וערכים דמיוניים שליליים.
לכן, במישור עם ערכי קואורדינטות x ו-y, אפשר תמיד לדמיין נקודה של מספר מרוכב. הדמות i מוצגת כדי להפריד בין החלק האמיתי לזה הדמיוני.
Properties
- כאשר הערך של הארגומנט הדמיוני הוא אפס, נקבל רק מספר (z=x), שנמצא על הציר האמיתי ושייך לקבוצה האמיתית.
- מקרה מיוחד כאשר הערך של הארגומנט האמיתי הופך לאפס, הביטוי z=i×y מתאים למיקום הנקודה על הציר הדמיוני.
- הצורה הכללית של z=x + i×y תהיה עבור ערכים שאינם אפס של הארגומנטים. מציין את מיקום הנקודה המאפיינת את המספר המרוכב באחד הרבעים.
תווית טריגונומטרית
זכור את מערכת הקואורדינטות הקוטבית ואת ההגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות sin ו-cos. ברור שבעזרת הפונקציות הללו ניתן לתאר את מיקומה של כל נקודה במטוס. לשם כך, מספיק לדעת את אורך האלומה הקוטבית ואת זווית הנטייה לציר האמיתי.
הגדרה. ערך בצורה ∣z ∣ כפול סכום הפונקציות הטריגונומטריות cos(ϴ) והחלק הדמיוני i ×sin(ϴ) נקרא מספר מרוכב טריגונומטרי. כאן הייעוד הוא זווית הנטייה לציר האמיתי
ϴ=arg(z) ו-r=∣z∣, אורך האלומה.
מההגדרה והמאפיינים של פונקציות טריגונומטריות, נוסחת Moivre חשובה מאוד:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
באמצעות נוסחה זו, נוח לפתור מערכות רבות של משוואות המכילות פונקציות טריגונומטריות. במיוחד כאשר מתעוררת בעיית ההעלאה לכוח.
מודול ושלב
כדי להשלים את התיאור של קבוצה מורכבת, אנו מציעים שתי הגדרות חשובות.
כדי להכיר את משפט פיתגורס, קל לחשב את אורך האלומה במערכת הקואורדינטות הקוטבית.
r=∣z∣=√(x2 + y2), סימון כזה במרחב מורכב נקרא " מודול" ומאפיין את המרחק מ-0 לנקודה במטוס.
זווית הנטייה של האלומה המורכבת לישר האמיתי ϴ נקראת בדרך כלל הפאזה.
ההגדרה מראה שהחלקים האמיתיים והדמיוניים מתוארים באמצעות פונקציות מחזוריות. כלומר:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
להפך, השלב קשור לערכים אלגבריים דרך הנוסחה:
ϴ=arctan(x / y) + µ, תיקון µ מוצג כדי לקחת בחשבון את המחזוריות של פונקציות גיאומטריות.
נוסחת אוילר
מתמטיקאים משתמשים לעתים קרובות בצורה האקספוננציאלית. מספרי מישור מורכבים נכתבים כביטויים
z=r × ei×ϴ , הנובע מנוסחת אוילר.
רשומה זו נמצאת בשימוש נרחב לחישוב מעשי של כמויות פיזיות. צורת הצגה בטופסמספרים מרוכבים אקספוננציאליים נוחים במיוחד לחישובים הנדסיים, שבהם יש צורך לחשב מעגלים עם זרמים סינוסואידים ויש צורך לדעת את הערך של אינטגרלים של פונקציות עם תקופה נתונה. החישובים עצמם משמשים כלי בתכנון של מכונות ומנגנונים שונים.
הגדר פעולות
כפי שכבר צוין, כל החוקים האלגבריים של עבודה עם פונקציות מתמטיות בסיסיות חלים על מספרים מרוכבים.
פעולת סכום
כאשר מוסיפים ערכים מורכבים, מתווספים גם החלקים האמיתיים והדמיוניים שלהם.
z=z1 + z2 כאשר z1 ו-z2 - מספרים מרוכבים כלליים. שינוי הביטוי, לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט הסימון, נקבל את הארגומנט האמיתי x=(x1 + x2), הארגומנט הדמיוני y=(y 1 + y2).
בגרף, זה נראה כמו חיבור של שני וקטורים, לפי כלל המקביליות הידוע.
פעולת חיסור
נחשב למקרה מיוחד של חיבור, כאשר מספר אחד חיובי, השני הוא שלילי, כלומר ממוקם ברבע המראה. סימון אלגברי נראה כמו ההבדל בין חלקים אמיתיים לדמיוניים.
z=z1 - z2, או, תוך התחשבות בערכי הארגומנטים, בדומה לתוספת הפעולה, נקבל עבור הערכים האמיתיים x=(x1 - x2) ו-y=דמיוני (y1- y2).
כפל במישור המורכב
באמצעות הכללים לעבודה עם פולינומים, אנו גוזרים את הנוסחהכדי לפתור מספרים מרוכבים.
בהתאם לכללים האלגבריים הכלליים z=z1×z2, תאר כל ארגומנט ורשום ארגומנטים דומים. ניתן לכתוב את החלקים האמיתיים והדמיוניים כך:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
זה נראה יפה יותר אם נשתמש במספרים מרוכבים מעריכי.
הביטוי נראה כך: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
יתר על כן, המודולים מוכפלים והשלבים מתווספים.
Division
כאשר בוחנים את פעולת החלוקה כהיפוך של הכפל, נקבל ביטוי פשוט בסימון אקספוננציאלי. חלוקת הערך z1 ב-z2 היא תוצאה של חלוקת המודולים והפרש הפאזות שלהם. באופן פורמלי, כאשר משתמשים בצורה המעריכית של מספרים מרוכבים, זה נראה כך:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
בצורה של סימון אלגברי, פעולת חלוקת המספרים של המישור המורכב כתובה קצת יותר מסובכת:
z=z1 / z2.
מתאר ארגומנטים וביצוע טרנספורמציות פולינומיות, קל לקבל ערכיםx=x1 × x2 + y1 × y2, בהתאמה y=x2 × y1 - x1 × y2 עם זאת, , בתוך המרחב המתואר, ביטוי זה הגיוני אם z2 ≠ 0.
חלץ את השורש
ניתן ליישם את כל האמור לעיל בעת הגדרת פונקציות אלגבריות מורכבות יותר - העלאה לכל חזקה והיפוך אליה - חילוץ השורש.
בשימוש במושג הכללי של העלאה לחזקת n, נקבל את ההגדרה:
zn =(r × eiϴ).
באמצעות מאפיינים משותפים, כתוב מחדש כ:
zn =rn × eiϴ.
קיבלנו נוסחה פשוטה להעלאת מספר מרוכב לחזקה.
מהגדרת התואר אנו מקבלים תוצאה חשובה מאוד. עוצמה זוגית של היחידה הדמיונית היא תמיד 1. כל חזקה אי-זוגית של היחידה הדמיונית היא תמיד -1.
עכשיו בואו נלמד את הפונקציה ההפוכה - חילוץ השורש.
למען קלות הסימון, ניקח את n=2. השורש הריבועי w של הערך המרוכב z במישור המורכב C נחשב לביטוי z=±, תקף עבור כל ארגומנט אמיתי גדול או שווה ל- אֶפֶס. עבור w ≦ 0, אין פתרון.
בוא נסתכל על המשוואה הריבועית הפשוטה ביותר z2 =1. בעזרת נוסחאות של מספרים מרוכבים, נכתוב מחדש r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. ניתן לראות מהרשומה שr2 =1 ו-ϴ=0, לכן, יש לנו פתרון ייחודי השווה ל-1.אבל זה סותר את התפיסה ש-z=-1 מתאים גם להגדרה של שורש ריבועי.
בואו נבין מה אנחנו לא לוקחים בחשבון. אם נזכר בסימון הטריגונומטרי, אז נשחזר את ההצהרה - עם שינוי מחזורי בשלב ϴ, המספר המרוכב לא משתנה. תן p לסמן את ערך התקופה, אז יש לנו r2 × ei2ϴ =ei(0+p), משם 2ϴ=0 + p, או ϴ=p / 2. לכן, ei0 =1 ו-eip/2 =-1. קיבלנו את הפתרון השני, התואם את ההבנה הכללית של השורש הריבועי.
לכן, כדי למצוא שורש שרירותי של מספר מרוכב, נפעל לפי ההליך.
- כתוב את הצורה המעריכית w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k הוא מספר שלם שרירותי.
- המספר הרצוי מיוצג גם בצורת אוילר z=r × eiϴ.
- השתמש בהגדרה הכללית של פונקציית חילוץ השורש r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- מהמאפיינים הכלליים של השוויון של מודולים וארגומנטים, נכתוב rn =∣w∣ ו-nϴ=arg (w) + p×k.
- הרשומה הסופית של השורש של מספר מרוכב מתוארת על ידי הנוסחה z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- הערה. הערך של ∣w∣, בהגדרה,הוא מספר אמיתי חיובי, כך שהשורש של כל תואר הגיוני.
שדה וצימוד
לסיכום, אנו נותנים שתי הגדרות חשובות שהן בעלות חשיבות מועטה לפתרון בעיות יישומיות עם מספרים מרוכבים, אך הן חיוניות להמשך הפיתוח של התיאוריה המתמטית.
אומרים שהביטויים עבור חיבור וכפל יוצרים שדה אם הם עומדים באקסיומות של כל רכיב במישור המורכב z:
- הסכום המורכב אינו משתנה ממקום שינוי של מונחים מורכבים.
- המשפט נכון - בביטוי מורכב, ניתן להחליף כל סכום של שני מספרים בערכם.
- יש ערך ניטרלי 0 שעבורו z + 0=0 + z=z נכון.
- עבור כל z יש הפוך - z, שתוספת שלו נותנת אפס.
- כאשר מחליפים מקומות של גורמים מורכבים, המוצר המורכב אינו משתנה.
- ניתן להחליף את הכפל של שני מספרים בערך שלהם.
- יש ערך ניטרלי 1, שכפל בו אינו משנה את המספר המרוכב.
- עבור כל z ≠ 0, יש הפוך של z-1, המוכפל ב-1.
- הכפלת הסכום של שני מספרים בשליש שווה ערך לפעולת הכפלת כל אחד מהם במספר זה והוספת התוצאות.
- 0 ≠ 1.
המספרים z1 =x + i×y ו-z2 =x - i×y נקראים מצומד.
משפט. עבור צימוד, ההצהרה נכונה:
- הצימוד של הסכום שווה לסכום האלמנטים המצומדים.
- הצימוד של המוצר הואתוצר של צימודים.
- הצימוד של הצימוד שווה למספר עצמו.
באופן כללי אלגברה, מאפיינים כאלה נקראים אוטומורפיזמים בשדה.
דוגמאות
בעקבות הכללים והנוסחאות הנתונות של מספרים מרוכבים, אתה יכול לעבוד איתם בקלות.
בואו נשקול את הדוגמאות הפשוטות ביותר.
בעיה 1. באמצעות המשוואה 3y +5 x i=15 - 7i, קבע את x ו-y.
החלטה. זכור את ההגדרה של שוויון מורכב, אז 3y=15, 5x=-7. לכן, x=-7 / 5, y=5.
משימה 2. חשב את הערכים 2 + i28 ו-1 + i135.
החלטה. ברור ש-28 הוא מספר זוגי, מהתוצאה של ההגדרה של מספר מרוכב בחזקת יש לנו i28 =1, כלומר הביטוי 2 + i 28 =3. הערך השני, i135 =-1, ואז 1 + i135 =0.
משימה 3. חשב את המכפלה של הערכים 2 + 5i ו-4 + 3i.
החלטה. מהתכונות הכלליות של כפל מספרים מרוכבים, נקבל (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). הערך החדש יהיה -7 + 26i.
משימה 4. חשב את השורשים של המשוואה z3 =-i.
החלטה. ישנן מספר דרכים למצוא מספר מרוכב. בואו נבחן את אחד האפשריים. בהגדרה, ∣ - i∣=1, הפאזה עבור -i היא -p / 4. ניתן לשכתב את המשוואה המקורית כ-r3ei3ϴ =e-p/4+pk, מאיפה z=e-p / 12 + pk/3, עבור כל מספר שלם k.
לקבוצת הפתרונות יש את הצורה (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
למה אנחנו צריכים מספרים מרוכבים
ההיסטוריה מכירה דוגמאות רבות כאשר מדענים, שעובדים על תיאוריה, אפילו לא חושבים על היישום המעשי של התוצאות שלהם. מתמטיקה היא, קודם כל, משחק הנפש, הקפדה על יחסי סיבה ותוצאה. כמעט כל המבנים המתמטיים מצטמצמים לפתרון משוואות אינטגרליות ודיפרנציאליות, ואלו, בתורם, בקירוב מסוים, נפתרות על ידי מציאת השורשים של פולינומים. כאן אנו פוגשים לראשונה את הפרדוקס של מספרים דמיוניים.
מדענים חוקרי טבע, פותרים בעיות מעשיות לחלוטין, פונים לפתרונות של משוואות שונות, מגלים פרדוקסים מתמטיים. הפירוש של הפרדוקסים הללו מוביל לתגליות מדהימות לחלוטין. הטבע הכפול של גלים אלקטרומגנטיים הוא דוגמה כזו. למספרים מורכבים יש תפקיד מכריע בהבנת המאפיינים שלהם.
זה, בתורו, מצא יישום מעשי באופטיקה, רדיו אלקטרוניקה, אנרגיה ותחומים טכנולוגיים רבים אחרים. דוגמה נוספת, הרבה יותר קשה להבין תופעות פיזיקליות. אנטי-חומר נחזה בקצה העט. ורק שנים רבות לאחר מכן, מתחילים ניסיונות לסנתז אותו פיזית.
אל תחשוב שרק בפיזיקה יש מצבים כאלה. תגליות מעניינות לא פחות נעשות בחיות בר, בסינתזה של מקרומולקולות, במהלך חקר הבינה המלאכותית. והכל בזכותהרחבת התודעה שלנו, התרחקות מחיבור וחיסור פשוטים של ערכי טבע.
