אפילו בבית הספר, כל התלמידים מתוודעים למושג "גיאומטריה אוקלידית", שעיקריו מתמקדים סביב מספר אקסיומות המבוססות על אלמנטים גיאומטריים כמו נקודה, מישור, קו, תנועה. כולם ביחד יוצרים את מה שנודע זה מכבר תחת המונח "מרחב אוקלידי".
מרחב אוקלידי, שהגדרתו מבוססת על המושג של כפל סקלארי של וקטורים, הוא מקרה מיוחד של מרחב ליניארי (אפיני) שעונה על מספר דרישות. ראשית, המכפלה הסקלרית של וקטורים היא סימטרית לחלוטין, כלומר, הווקטור עם הקואורדינטות (x;y) זהה מבחינה כמותית לווקטור עם הקואורדינטות (y;x), אך הפוך בכיוון.
שנית, אם מבוצע המכפלה הסקלרית של וקטור עם עצמו, אז התוצאה של פעולה זו תהיה חיובית. החריג היחיד יהיה המקרה כאשר הקואורדינטות הראשוניות והסופיות של וקטור זה שוות לאפס: במקרה זה, המכפלה שלו עם עצמו תהיה שווה לאפס.
שלישית, המכפלה הסקלרית היא חלוקתית, כלומר, ניתן לפרק את אחת הקואורדינטות שלו לסכום של שני ערכים, מה שלא יגרור שינויים בתוצאה הסופית של כפל סקלרי של וקטורים. לבסוף, רביעית, כאשר וקטורים מוכפלים באותו מספר ממשי, גם המכפלה הסקלרית שלהם תגדל באותו גורם.
אם כל ארבעת התנאים הללו מתקיימים, נוכל לומר בביטחון שיש לנו מרחב אוקלידי.
המרחב האוקלידי מנקודת מבט מעשית יכול להתאפיין בדוגמאות הספציפיות הבאות:
- המקרה הפשוט ביותר הוא נוכחות של קבוצה של וקטורים עם מכפלה סקלרית המוגדרת לפי חוקי הגיאומטריה הבסיסיים.
- מרחב אוקלידי יתקבל גם אם ב-וקטורים נתכוון לקבוצה סופית מסוימת של מספרים ממשיים עם נוסחה נתונה המתארת את הסכום הסקלרי שלהם או המכפלה שלהם.
- מקרה מיוחד של מרחב אוקלידי הוא מה שנקרא מרחב אפס, שמתקבל אם האורך הסקלרי של שני הוקטורים שווה לאפס.
למרחב האוקלידי יש מספר מאפיינים ספציפיים. ראשית, ניתן להוציא את הגורם הסקלרי מסוגריים הן מהגורם הראשון והן מהגורם השני של המוצר הסקלרי, התוצאה מכך לא תשתנה בשום צורה. שנית, יחד עם ההפצה של האלמנט הראשון של הסקלרמוצר, גם ההפצה של היסוד השני פועלת. בנוסף, בנוסף לסכום הסקלרי של הוקטורים, מתקיימת התפלגות גם במקרה של חיסור וקטור. לבסוף, שלישית, כאשר וקטור מוכפל באופן סקלרי באפס, התוצאה תהיה גם אפס.
לפיכך, המרחב האוקלידי הוא המושג הגיאומטרי החשוב ביותר המשמש בפתרון בעיות עם סידור הדדי של וקטורים זה ביחס לזה, המאופיין במושג כמו המכפלה הסקלרית.
