נגזרת הקוסינוס נמצאת באנלוגיה לנגזרת הסינוס, בסיס ההוכחה הוא הגדרת הגבול של הפונקציה. אתה יכול להשתמש בשיטה אחרת, תוך שימוש בנוסחאות ההפחתה הטריגונומטרית עבור הקוסינוס והסינוס של זוויות. הבטא פונקציה אחת במונחים של אחרת - קוסינוס במונחים של סינוס, והבדיל את הסינוס עם ארגומנט מורכב.
שקול את הדוגמה הראשונה של גזירת הנוסחה (Cos(x))'
תן תוספת קטנה באופן זניח Δx לארגומנט x של הפונקציה y=Cos(x). עם ערך חדש של הארגומנט х+Δх, נקבל ערך חדש של הפונקציה Cos(х+Δх). אז תוספת הפונקציה Δy תהיה שווה ל-Cos(х+Δx)-Cos(x).
היחס בין תוספת הפונקציה ל-Δх יהיה: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. הבה נבצע טרנספורמציות זהות במונה של השבר המתקבל. נזכיר את הנוסחה להפרש בקוסינוסים של הזוויות, התוצאה תהיה המכפלה -2Sin (Δx / 2) כפול Sin (x + Δx / 2). אנו מוצאים את הגבול של הגבול המנה של מוצר זה על Δx שכן Δx שואף לאפס. ידוע כי הראשון(זה נקרא נפלא) הגבול lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) שווה ל-1, והגבול -Sin(x+Δx/2) שווה ל-Sin(x) כ-Δx שואף לאפס. רשום את התוצאה: הנגזרת של (Cos(x))' שווה ל- Sin(x).
יש אנשים שמעדיפים את הדרך השנייה לגזירת אותה נוסחה
זה ידוע ממהלך הטריגונומטריה: Cos(x) שווה ל-Sin(0, 5 ∏-x), באופן דומה Sin(x) שווה ל-Cos(0, 5 ∏-x). לאחר מכן נבדיל פונקציה מורכבת - הסינוס של הזווית הנוספת (במקום הקוסינוס x).
נקבל את המכפלה Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', כי הנגזרת של הסינוס x שווה לקוסינוס X. נפנה לנוסחה השנייה Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) של החלפת הקוסינוס בסינוס, תוך התחשבות בכך (0.5 ∏-x)'=-1. כעת נקבל -Sin(x).אז, נמצאה הנגזרת של הקוסינוס, y'=-Sin(x) עבור הפונקציה y=Cos(x).
נגזרת קוסינוס בריבוע
דוגמה נפוצה שבה נעשה שימוש בנגזרת הקוסינוס. הפונקציה y=Cos2(x) קשה. תחילה נמצא את ההפרש של פונקציית החזקה עם מעריך 2, הוא יהיה 2·Cos(x), לאחר מכן נכפיל אותו בנגזרת (Cos(x))', ששווה ל-Sin(x). נקבל y'=-2 Cos(x) Sin(x). כאשר אנו מיישמים את הנוסחה Sin(2x), הסינוס של זווית כפולה, נקבל את הסופי המפושטanswer y'=-Sin(2x)
פונקציות היפרבוליות
הם משמשים בחקר דיסציפלינות טכניות רבות: במתמטיקה, למשל, הם מקלים על חישוב אינטגרלים, פתרון משוואות דיפרנציאליות. הם מתבטאים במונחים של פונקציות טריגונומטריות עם דמיונותארגומנט, אז הקוסינוס ההיפרבולי ch(x)=Cos(i x), כאשר i היא היחידה הדמיונית, הסינוס ההיפרבולי sh(x)=Sin(i x).
הנגזרת של הקוסינוס ההיפרבולי מחושבת בפשטות.
שקול את הפונקציה y=(ex+e-x) /2, זה והוא הקוסינוס ההיפרבולי ch(x). אנו משתמשים בכלל למציאת הנגזרת של סכום שני ביטויים, הכלל להוצאת הגורם הקבוע (Const) מהסימן של הנגזרת. האיבר השני 0.5 e-x הוא פונקציה מורכבת (הנגזרת שלה היא -0.5 e-x), 0.5 eх -הקדנציה הראשונה. (ch(x)) ניתן לכתוב '=((ex+e-x)/2)' בדרך אחרת: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, כי הנגזרת (e - x)' שווה -1 פעמים e-x. התוצאה היא הבדל, וזהו הסינוס ההיפרבולי sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
בוא נסתכל על דוגמה איך לעשות חשב את הנגזרת של הפונקציה y=ch(x
3+1).לפי כלל הבידול הקוסינוס ההיפרבולי עם ארגומנט מורכב y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', כאשר (x3+1)'=3 x 2+0. תשובה: הנגזרת של פונקציה זו היא 3 x
2sh(x3+1).
נגזרות טבלאיות של הפונקציות הנחשבות y=ch(x) ו-y=Cos(x)
כאשר פותרים דוגמאות, אין צורך להבדיל ביניהן בכל פעם לפי הסכימה המוצעת, מספיק להשתמש בהסקה.
דוגמה. הבדיל את הפונקציה y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). קל לחישוב (השתמש בנתונים טבלאיים), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
