אינטגרל בלתי מוגדר. חישוב אינטגרלים בלתי מוגדרים

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-15 17:24

אחד הסעיפים הבסיסיים של ניתוח מתמטי הוא חשבון אינטגרלי. הוא מכסה את השדה הרחב ביותר של אובייקטים, כאשר הראשון הוא האינטגרל הבלתי מוגדר. כדאי למקם אותו כמפתח, שאפילו בתיכון חושף מספר הולך וגדל של נקודות מבט והזדמנויות שמתארת המתמטיקה הגבוהה.

הופעה

במבט ראשון האינטגרל נראה מודרני לחלוטין, רלוונטי, אבל בפועל מתברר שהוא הופיע כבר בשנת 1800 לפני הספירה. מצרים נחשבת רשמית למולדת, שכן עדויות קודמות לקיומה לא הגיעו אלינו. הוא, מחוסר מידע, כל הזמן הזה התמקם פשוט כתופעה. הוא אישר שוב את רמת ההתפתחות של המדע בקרב העמים של אותם זמנים. לבסוף, נמצאו יצירותיהם של מתמטיקאים יוונים עתיקים מהמאה הרביעית לפני הספירה. הם תיארו שיטה שבה נעשה שימוש באינטגרל בלתי מוגדר, שעיקרה היה למצוא את הנפח או השטח של דמות מפותלת (תלת מימדיתומישורים דו מימדיים, בהתאמה). עקרון החישוב התבסס על חלוקת הדמות המקורית למרכיבים אינפיניטסימליים, בתנאי שנפחם (השטח) שלהם כבר ידוע. עם הזמן, השיטה גדלה, ארכימדס השתמש בה כדי למצוא את השטח של פרבולה. חישובים דומים בוצעו במקביל על ידי מדענים בסין העתיקה, והם היו בלתי תלויים לחלוטין בעמיתיהם היוונים במדע.

Development

פריצת הדרך הבאה במאה ה-11 לספירה הייתה עבודתו של המדען הערבי-ה"אוניברסלי" אבו עלי אל-בסרי, שדחף את הגבולות של מה שכבר היה ידוע, וגזר נוסחאות המבוססות על האינטגרל לחישוב הסכומים של שורות וסכומי החזקה מהראשון עד הרביעי, תוך יישום שיטת האינדוקציה המתמטית המוכרת לנו.

המוח של התקופה המודרנית מתפעל מאיך שהמצרים הקדמונים יצרו מונומנטים ארכיטקטוניים מדהימים בלי שום מכשירים מיוחדים, מלבד אולי הידיים שלהם, אבל האם כוח המוח של מדענים באותה תקופה לא פחות הוא נס? בהשוואה להיום, החיים שלהם נראים כמעט פרימיטיביים, אבל הפתרון של אינטגרלים בלתי מוגדרים נגזר בכל מקום ושימש בפועל להמשך פיתוח.

הצעד הבא התרחש במאה ה-16, כאשר המתמטיקאי האיטלקי קוואליירי פיתח את שיטת הבלתי ניתנים לחלוקה, אותה קלט פייר פרמה. שני האישים הללו הם שהניחו את היסוד לחישוב האינטגרלי המודרני, הידוע כרגע. הם חיברו בין המושגים של בידול ואינטגרציה, שהיו בעברמטופלים כיחידות אוטונומיות. בגדול, המתמטיקה של אותם זמנים הייתה מקוטעת, חלקיקי המסקנות התקיימו בפני עצמם, בהיקף מוגבל. הדרך של איחוד וחיפוש אחר קרקע משותפת הייתה הדרך היחידה האמיתית באותה תקופה, שבזכותה הניתוח המתמטי המודרני קיבל את ההזדמנות לצמוח ולהתפתח.

הכל השתנה עם הזמן, כולל הסימון של האינטגרל. בגדול, מדענים ציינו את זה בכל האמצעים, למשל, ניוטון השתמש באייקון מרובע שבו הוא הציב פונקציה ניתנת לשילוב או פשוט שם אותה לצדה.

חוסר העקביות הזה נמשך עד המאה ה-17, כאשר המדען גוטפריד לייבניץ, נקודת ציון לכל תורת הניתוח המתמטי, הציג את הסמל המוכר לנו כל כך. ה"S" המוארך אכן מבוסס על האות הזו של האלפבית הלטיני, שכן הוא מציין את סכום הנגזרות האנטי-נגזרות. האינטגרל קיבל את שמו בזכות יעקב ברנולי 15 שנים מאוחר יותר.

הגדרה פורמלית

האינטגרל הבלתי מוגדר תלוי ישירות בהגדרה של הנגזרת האנטי-נגזרת, אז בואו נשקול אותו תחילה.

אנטי נגזרת היא פונקציה שהיא היפוך של נגזרת, בפועל היא נקראת גם פרימיטיבית. אחרת: האנטי-נגזרת של פונקציה d היא פונקציה D שהנגזרת שלה שווה ל-v V'=v. החיפוש אחר האנטי-נגזרת הוא חישוב האינטגרל הבלתי מוגדר, ותהליך זה עצמו נקרא אינטגרציה.

דוגמה:

פונקציה s(y)=y³, והנגזרת האנטי-נגזרת שלה S(y)=(y^4/4).

הקבוצה של כל הנגזרות האנטי-נגזרות של הפונקציה הנבדקת היא האינטגרל הבלתי מוגדר, הוא מסומן באופן הבא: ∫v(x)dx.

בשל העובדה ש-V(x) הוא רק נגזרת כלשהי של הפונקציה המקורית, הביטוי מתרחש: ∫v(x)dx=V(x) + C, כאשר C הוא קבוע. קבוע שרירותי הוא כל קבוע, שכן הנגזרת שלו שווה לאפס.

Properties

התכונות שיש לאינטגרל הבלתי מוגדר מבוססות על ההגדרה הראשית ותכונות הנגזרות.

בואו נסתכל על נקודות המפתח:

• האינטגרל מהנגזרת של האנטי-נגזרת הוא האנטי-נגזרת עצמה בתוספת קבוע שרירותי С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
• הנגזרת של אינטגרל הפונקציה היא הפונקציה המקורית (∫v(x)dx)'=v(x);
• קבוע נלקח מתחת לסימן האינטגרלי ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, כאשר k הוא שרירותי;
• האינטגרל שנלקח מהסכום שווה באופן זהה לסכום האינטגרלים ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.

משני המאפיינים האחרונים, אנו יכולים להסיק שהאינטגרל הבלתי מוגדר הוא ליניארי. הודות לכך, יש לנו: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.

כדי לאחד, שקול דוגמאות לפתרון אינטגרלים בלתי מוגדרים.

יש צורך למצוא את האינטגרל ∫(3sinx + 4cosx)dx:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C

מהדוגמה נוכל להסיק:לא יודע איך לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים? פשוט מצא את כל הפרימיטיבים! אבל עקרונות החיפוש ייחשבו להלן.

שיטות ודוגמאות

כדי לפתור את האינטגרל, תוכל להיעזר בשיטות הבאות:

• השתמש בטבלה המוכנה;
• לשלב לפי חלקים;
• לשלב על ידי שינוי המשתנה;
• bringing under the differential sign.

טבלאות

הדרך הקלה והמהנה ביותר. כרגע, הניתוח המתמטי מתהדר בטבלאות נרחבות למדי שבהן נכתבות הנוסחאות הבסיסיות של אינטגרלים בלתי מוגדרים. במילים אחרות, יש תבניות שפותחו לפניכם ולמענכם נותר רק להשתמש בהן. להלן רשימה של עמדות הטבלה הראשיות אליהן ניתן לגזור כמעט כל דוגמה שיש לה פתרון:

• ∫0dy=C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy=y + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, כאשר C הוא קבוע ו- n - מספר לא אחד;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫e^ydy=e^{y + C, כאשר C הוא קבוע;}
• ∫k^ydy=(k^{y/ln k) + C, כאשר C הוא קבוע;}
• ∫cosydy=siny + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫sinydy=-cosy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy/cos2y=tgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫chydy=ביישן + C, כאשר C -קבוע;
• ∫shydy=chy + C, כאשר C הוא קבוע.

במידת הצורך, בצע כמה צעדים, הבא את האינטגרנד לצורת טבלה ותהנה מהניצחון. דוגמה: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

לפי הפתרון, ברור שלדוגמה הטבלאית, לאינטגרנד חסר פקטור 5. נוסיף אותו, נכפיל אותו ב-1/5 במקביל כדי שהביטוי הכללי לא ישתנה.

שילוב לפי חלקים

שקול שתי פונקציות - z(y) ו-x(y). הם חייבים להיות ניתנים להבדלה מתמשכת על פני כל תחום ההגדרה. לפי אחת ממאפייני הבידול, יש לנו: d(xz)=xdz + zdx. שילוב שני חלקי המשוואה, נקבל: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.

שכתוב את השוויון שנוצר, נקבל נוסחה המתארת את שיטת האינטגרציה לפי חלקים: ∫zdx=zx - ∫xdz.

למה זה נחוץ? הנקודה היא שניתן לפשט כמה דוגמאות, בתנאי, להפחית את ∫zdx ל-∫xdz אם האחרון קרוב לצורה טבלאית. כמו כן, ניתן ליישם את הנוסחה הזו יותר מפעם אחת, ולהשיג תוצאות מיטביות.

איך לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים בדרך זו:

צריך לחשב ∫(s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

צריך לחשב ∫lnsds

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.

החלפה משתנה

עקרון זה של פתרון אינטגרלים בלתי מוגדרים מבוקש לא פחות משני הקודמים, אם כי הוא מסובך יותר. השיטה היא כדלקמן: תנו ל-V(x) להיות האינטגרל של פונקציה כלשהי v(x). במקרה שהאינטגרל עצמו בדוגמה נראה מורכב, קיימת סבירות גבוהה להתבלבל ולעשות את הנתיב הלא נכון של הפתרון. כדי להימנע מכך, מתרגל המעבר מהמשתנה x ל-z, שבו הביטוי הכללי מפושט ויזואלית תוך שמירה על התלות של z ב-x.

מתמטית זה נראה כך: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x)), כאשר x=y(z) הוא תחליף. וכמובן, הפונקציה ההפוכה z=y}-1^{(x) מתארת במלואה את התלות והקשר של משתנים. הערה חשובה - ההפרש dx מוחלף בהכרח בדיפרנציאלי dz חדש, שכן החלפת משתנה באינטגרל הבלתי מוגדר מרמזת על החלפתו בכל מקום, ולא רק באינטגרנד.}

דוגמה:

need to find ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

החל את ההחלפה z=(s+1)/(s2+2s-5). ואז dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הביטוי הבא, שקל מאוד לחישוב:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

צריך למצוא את האינטגרל∫2^se^sdx

כדי לפתור, נכתוב מחדש את הביטוי בצורה הבאה:

∫2^se^sds=∫(2e)^sds.

סמן ב-a=2e (שלב זה אינו תחליף לטיעון, הוא עדיין s), אנו מביאים את האינטגרל המורכב לכאורה שלנו לצורה טבלאית יסודית:

∫(2e)^sds=∫a^sds=a^s / lna + C=(2e)^s / ln(2e) + C=2^se^s / ln(2 + lne) + C=2^se^{s / (ln2 + 1) + C.}

להביא מתחת לסימן ההפרש

בגדול, שיטה זו של אינטגרלים בלתי מוגדרים היא אח תאום של עקרון השינוי המשתנה, אבל יש הבדלים בתהליך העיצוב. בואו נסתכל מקרוב.

אם ∫v(x)dx=V(x) + C ו-y=z(x), אז ∫v(y)dy=V(y) + C.

במקרה זה, אין לשכוח את התמורות האינטגרליות הטריוויאליות, ביניהן:

• dx=d(x + a), כאשר a הוא כל קבוע;
• dx=(1 / a)d(ax + b), כאשר a הוא שוב קבוע, אך אינו שווה לאפס;
• xdx=1/2d(x2 + b);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx).

אם ניקח בחשבון את המקרה הכללי כאשר אנו מחשבים את האינטגרל הבלתי מוגדר, ניתן לסכם דוגמאות תחת הנוסחה הכללית w'(x)dx=dw(x).

דוגמאות:

need to find ∫(2s + 3)²ds, ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.

עזרה מקוונת

במקרים מסוימים, אשר אשמתם עשויה להיות עצלות או צורך דחוף, אתה יכול להשתמש בטיפים מקוונים, או ליתר דיוק, להשתמש במחשבון האינטגרלי הבלתי מוגדר. למרות כל המורכבות והאפשרויות לכאורה של אינטגרלים, הפתרון שלהם כפוף לאלגוריתם מסוים, המבוסס על העיקרון "אם לא …, אז …".

כמובן, מחשבון כזה לא ישלוט בדוגמאות מורכבות במיוחד, שכן ישנם מקרים בהם יש למצוא את הפתרון באופן מלאכותי, "בכוח" תוך הכנסת אלמנטים מסוימים בתהליך, כי לא ניתן להשיג את התוצאה במובן מאליו. דרכים. למרות כל המחלוקת שבאמירה זו, זה נכון, שכן מתמטיקה, באופן עקרוני, היא מדע מופשט, ורואה בצורך להרחיב את גבולות האפשרויות את תפקידה העיקרי. אכן, קשה מאוד להתקדם ולהתפתח על פי תיאוריות חלקות ורצות, אז אין להניח שהדוגמאות לפתרון אינטגרלים בלתי מוגבלים שהבאנו הן שיא האפשרויות. אבל נחזור לצד הטכני של הדברים. לפחות כדי לבדוק את החישובים, אתה יכול להשתמש בשירותים שבהם הכל נכתב לפנינו. אם יש צורך בחישוב אוטומטי של ביטוי מורכב, אז לא ניתן לוותר עליהם, תצטרך לפנות לתוכנה רצינית יותר. כדאי לשים לב קודם כל לסביבת MatLab.

Application

הפתרון של אינטגרלים בלתי מוגדרים במבט ראשון נראה מנותק לחלוטין מהמציאות, מכיוון שקשה לראות את תחומי היישום הברורים. אכן, לא ניתן להשתמש בהם ישירות בכל מקום, אך הם נחשבים למרכיב ביניים הכרחי בתהליך הפקת הפתרונות המשמשים בפועל. אז, אינטגרציה הפוכה להבחנה, שבגללה היא משתתפת באופן פעיל בתהליך פתרון המשוואות.

בתמורה, למשוואות הללו יש השפעה ישירה על פתרון בעיות מכניות, חישוב מסלולים ומוליכות תרמית - בקיצור, כל מה שמרכיב את ההווה ומעצב את העתיד. האינטגרל הבלתי מוגדר, שדוגמאות שלו בחנו לעיל, הוא טריוויאלי רק במבט ראשון, שכן הוא הבסיס לגילוי עוד ועוד תגליות חדשות.