תורת ההסתברות עובדת עם משתנים אקראיים. עבור משתנים אקראיים, ישנם מה שנקרא חוקי התפלגות. חוק כזה מתאר את המשתנה האקראי שלו בשלמות מוחלטת. עם זאת, כאשר עובדים עם קבוצות אמיתיות של משתנים אקראיים, לעתים קרובות קשה מאוד לקבוע מיד את חוק ההתפלגות שלהם והם מוגבלים לקבוצה מסוימת של מאפיינים מספריים. לדוגמה, חישוב הממוצע והשונות של משתנה אקראי הוא לרוב שימושי מאוד.
למה זה נחוץ
אם המהות של הציפייה המתמטית קרובה לערך הממוצע של הכמות, אז במקרה זה הפיזור מספר כיצד ערכי הכמות שלנו מפוזרים סביב הציפייה המתמטית הזו. לדוגמה, אם מדדנו את מנת המשכל של קבוצת אנשים וברצוננו לבחון את תוצאות המדידה (מדגם), התוחלת המתמטית תראה את הערך הממוצע המשוער של מנת האינטליגנציה עבור קבוצת אנשים זו, ואם נחשב את שונות המדגם., נגלה כיצד התוצאות מקובצות סביב הציפייה המתמטית: חבורה בקרבתה (וריאציה קטנה ב-IQ) או באופן שווה יותר על פני כל הטווח מתוצאה מינימלית למקסימום (וריאציה גדולה, ואיפשהו באמצע - ציפייה מתמטית).
כדי לחשב את השונות, צריך מאפיין חדש של משתנה אקראי - סטיית הערך מהמתמטימחכה.
Deviation
כדי להבין כיצד לחשב את השונות, תחילה עליך להבין את הסטייה. ההגדרה שלו היא ההבדל בין הערך שלוקח משתנה אקראי לבין התוחלת המתמטית שלו. באופן גס, כדי להבין איך ערך "מפוזר", צריך להסתכל כיצד מתחלקת הסטייה שלו. כלומר, אנחנו מחליפים את ערך הערך בערך הסטייה שלו מהמזרן. ציפיות ולחקור את חוק ההפצה שלו.
חוק ההתפלגות של בדיד, כלומר משתנה אקראי המקבל ערכים בודדים, נכתב בצורה של טבלה, שבה ערך הערך מתואם עם ההסתברות להתרחשותו. לאחר מכן, בחוק התפלגות הסטייה, המשתנה המקרי יוחלף בנוסחה שלו, שבה יש ערך (ששמר על ההסתברות שלו) ומזרן משלו. מחכה.
מאפייני חוק ההתפלגות של הסטייה של משתנה אקראי
רשמנו את חוק ההתפלגות לסטייה של משתנה מקרי. מתוכו, אנו יכולים לחלץ עד כה רק מאפיין כזה כמו הציפייה המתמטית. מטעמי נוחות, עדיף לקחת דוגמה מספרית.
יהיה חוק התפלגות של משתנה אקראי כלשהו: X - ערך, p - הסתברות.
אנחנו מחשבים את התוחלת המתמטית באמצעות הנוסחה ומיד את הסטייה.
ציור טבלת התפלגות סטיות חדשה.
אנחנו מחשבים את התוחלת גם כאן.
מסתבר שאפס. יש רק דוגמה אחת, אבל היא תמיד תהיה כזו: לא קשה להוכיח זאת במקרה הכללי. ניתן לפרק את הנוסחה של הציפייה המתמטית של הסטייה להפרש בין הציפיות המתמטיות של משתנה מקרי, ולא משנה כמה עקום זה נשמע, הציפייה המתמטית של המחצלת. ציפיות (רקורסיה, לעומת זאת), שהן זהות, ומכאן שההבדל שלהן יהיה אפס.
זה צפוי: אחרי הכל, סטיות בסימן יכולות להיות חיוביות ושליליות, לכן, בממוצע הן צריכות לתת אפס.
כיצד לחשב את השונות של מקרה בדיד. כמויות
אם מחצלת. אין טעם לחשב את תוחלת הסטייה, אתה צריך לחפש משהו אחר. אתה יכול פשוט לקחת את הערכים האבסולוטיים של הסטיות (מודולו); אבל עם מודולים, הכל לא כל כך פשוט, אז הסטיות מרוחקות בריבוע, ואז מחושבת הציפייה המתמטית שלהן. למעשה, זו הכוונה כשהם מדברים על איך לחשב את השונות.
כלומר, אנחנו לוקחים את הסטיות, בריבוע אותן, ויוצרים טבלה של סטיות והסתברויות בריבוע שמתאימות למשתנים אקראיים. זהו חוק הפצה חדש. כדי לחשב את התוחלת המתמטית, עליך להוסיף את המכפלה של ריבוע הסטייה וההסתברות.
נוסחה קלה יותר
עם זאת, המאמר התחיל בעובדה שחוק ההתפלגות של המשתנה האקראי הראשוני לרוב אינו ידוע. אז צריך משהו קל יותר. ואכן, קיימת נוסחה נוספת המאפשרת לחשב את השונות המדגם באמצעות המחצלת בלבד.מחכה:
Dispersion - ההבדל בין המחצלת. תוחלת הריבוע של משתנה אקראי ולהפך, ריבוע המחצלת שלו. מחכה.
יש לכך הוכחה, אבל לא הגיוני להציג אותה כאן, כיוון שאין לה ערך מעשי (וצריך רק לחשב את השונות).
איך לחשב את השונות של משתנה אקראי בסדרות וריאציות
בסטטיסטיקה אמיתית, אי אפשר לשקף את כל המשתנים האקראיים (מכיוון שבאופן גס, יש, ככלל, מספר אינסופי שלהם). לכן, מה שנכנס למחקר הוא מה שנקרא מדגם מייצג מאוכלוסיה כללית כלשהי. ומכיוון שהמאפיינים המספריים של כל משתנה אקראי מאוכלוסיה כללית כזו מחושבים מהמדגם, הם נקראים מדגם: ממוצע מדגם, בהתאמה, שונות מדגם. אתה יכול לחשב אותו באותו אופן כמו הרגיל (דרך הסטיות בריבוע).
עם זאת, פיזור כזה נקרא מוטה. נוסחת השונות הבלתי משוחדת נראית קצת אחרת. בדרך כלל נדרש לחשב אותו.
תוספת קטנה
מאפיין מספרי אחד נוסף קשור לפיזור. זה גם משמש להעריך כיצד המשתנה האקראי מתפזר סביב המחצלת שלו. ציפיות. אין הרבה הבדל כיצד לחשב את השונות וסטיית התקן: האחרונה היא השורש הריבועי של הראשונה.
