ניתן לפתור בעיות תנועה רבות במכניקה הקלאסית באמצעות הרעיון של התנע של חלקיק או של המערכת המכנית כולה. בואו נסתכל מקרוב על מושג המומנטום, וגם נראה כיצד ניתן להשתמש בידע שנצבר לפתרון בעיות פיזיות.
המאפיין העיקרי של התנועה
במאה ה-17, כאשר חקר את תנועתם של גרמי השמיים בחלל (סיבוב כוכבי הלכת במערכת השמש שלנו), אייזק ניוטון השתמש במושג המומנטום. למען ההגינות, נציין שכמה עשורים קודם לכן, גלילאו גליליי כבר השתמש במאפיין דומה בעת תיאור גופים בתנועה. עם זאת, רק ניוטון הצליח לשלב אותה בתמציתיות בתיאוריה הקלאסית של תנועת גרמי השמיים שפותחה על ידו.
כולם יודעים שאחד הגדלים החשובים המאפיינים את מהירות השינוי של קואורדינטות הגוף במרחב הוא המהירות. אם הוא מוכפל במסה של העצם הנע, אז נקבל את כמות התנועה שהוזכרה, כלומר, הנוסחה הבאה תקפה:
p¯=mv¯
כפי שאתה יכול לראות, p¯ הואגודל וקטור שכיוונו חופף לזה של המהירות v¯. הוא נמדד ב-kgm/s.
המשמעות הפיזית של p¯ אפשר להבין על ידי הדוגמה הפשוטה הבאה: משאית נוסעת באותה מהירות וזבוב עף, ברור שאדם לא יכול לעצור משאית, אבל זבוב יכול לעשות את זה בלי בעיות. כלומר, כמות התנועה עומדת ביחס ישר לא רק למהירות, אלא גם למסה של הגוף (תלוי בתכונות האינרציה).
תנועה של נקודה או חלקיק חומרי
כאשר בוחנים בעיות תנועה רבות, הגודל והצורה של עצם נע לרוב אינם ממלאים תפקיד משמעותי בפתרון שלהם. במקרה זה, אחת הקירוב הנפוצים ביותר מוצגת - הגוף נחשב חלקיק או נקודה חומרית. זהו עצם חסר מימד, שכל המסה שלו מרוכזת במרכז הגוף. קירוב נוח זה תקף כאשר מימדי הגוף קטנים בהרבה מהמרחקים שהוא עובר. דוגמה חיה היא תנועה של מכונית בין ערים, סיבוב כוכב הלכת שלנו במסלולו.
לפיכך, מצב החלקיק הנחשב מאופיין במסה ובמהירות תנועתו (שימו לב שהמהירות עשויה להיות תלויה בזמן, כלומר, לא להיות קבועה).
מהו התנע של חלקיק?
לעתים קרובות משמעות המילים הללו היא כמות התנועה של נקודה מהותית, כלומר, הערך p¯. זה לא לגמרי נכון. הבה נתבונן בסוגיה זו ביתר פירוט, לשם כך אנו רושמים את החוק השני של אייזיק ניוטון, שעובר כבר בכיתה ז' בבית הספר, יש לנו:
F¯=ma¯
בידיעה שתאוצה היא קצב השינוי של v¯ בזמן, נוכל לכתוב אותו מחדש באופן הבא:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
אם הכוח הפועל לא משתנה עם הזמן, אז המרווח Δt יהיה שווה ל:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
הצד השמאלי של המשוואה הזו (F¯Δt) נקרא התנע של הכוח, הצד הימני (Δp¯) הוא השינוי בתנע. מכיוון שנחשב במקרה של תנועה של נקודה חומרית, ניתן לקרוא לביטוי זה הנוסחה לתנע של חלקיק. הוא מראה עד כמה התנע הכולל שלו ישתנה במהלך הזמן Δt תחת פעולת דחף הכוח המתאים.
רגע של מומנטום
לאחר שעסקנו במושג התנע של חלקיק בעל מסה m לתנועה לינארית, נעבור לשקול מאפיין דומה לתנועה מעגלית. אם נקודה חומרית, בעלת תנע p¯, מסתובבת סביב ציר O במרחק r¯ ממנה, אז ניתן לכתוב את הביטוי הבא:
L¯=r¯p¯
ביטוי זה מייצג את התנע הזוויתי של החלקיק, שכמו p¯, הוא כמות וקטורית (L¯ מכוון לפי כלל יד ימין בניצב למישור הבנוי על המקטעים r¯ ו-p¯).
אם המומנטום p¯ מאפיין את עוצמת התזוזה הליניארית של הגוף, אז ל-L¯ יש משמעות פיזיקלית דומה רק עבור מסלול מעגלי (סיבוב סביבציר).
הנוסחה לתנע הזוויתי של חלקיק, הכתובה למעלה, בצורה זו אינה משמשת לפתרון בעיות. באמצעות טרנספורמציות מתמטיות פשוטות, תוכל להגיע לביטוי הבא:
L¯=Iω¯
כאשר ω¯ היא המהירות הזוויתית, אני הוא מומנט האינרציה. סימון זה דומה לזה של התנע הליניארי של חלקיק (האנלוגיה בין ω¯ ו-v¯ ובין I ל-m).
חוקי שימור עבור p¯ ו-L¯
בפסקה השלישית של המאמר, הוצג מושג הדחף של כוח חיצוני. אם כוחות כאלה לא פועלים על המערכת (היא סגורה, ומתרחשים בה רק כוחות פנימיים), אז התנע הכולל של החלקיקים השייכים למערכת נשאר קבוע, כלומר:
p¯=const
שים לב שכתוצאה מאינטראקציות פנימיות, כל קואורדינטת מומנטום נשמרת:
px=const.; py=const.; pz=const
בדרך כלל החוק הזה משמש כדי לפתור בעיות בהתנגשות של גופים נוקשים, כמו כדורים. חשוב לדעת שלא משנה מה אופי ההתנגשות (אלסטי או פלסטי לחלוטין), כמות התנועה הכוללת תמיד תישאר זהה לפני ואחרי הפגיעה.
לצייר אנלוגיה מלאה לתנועה הליניארית של נקודה, אנו כותבים את חוק השימור עבור התנע הזוויתי באופן הבא:
L¯=const. או I1ω1¯=I2ω2 ¯
כלומר, כל שינוי פנימי במומנט האינרציה של המערכת מוביל לשינוי פרופורציונלי במהירות הזוויתית של המערכתסיבוב.
אולי אחת התופעות הנפוצות שמדגימות את החוק הזה היא סיבוב המחליק על הקרח, כאשר הוא מקבץ את גופו בדרכים שונות, תוך שינוי מהירות הזווית שלו.
בעיית התנגשות שני כדורים דביקים
בואו נשקול דוגמה לפתרון בעיית שימור התנע ליניארי של חלקיקים הנעים זה לקראת זה. תנו לחלקיקים הללו להיות כדורים בעלי משטח דביק (במקרה זה, הכדור יכול להיחשב כנקודה חומרית, שכן מימדיו אינם משפיעים על פתרון הבעיה). אז, כדור אחד נע לאורך הכיוון החיובי של ציר ה-X במהירות של 5 m/s, יש לו מסה של 3 ק"ג. הכדור השני נע לאורך הכיוון השלילי של ציר ה-X, מהירותו ומסה שלו הן 2 מ/ש ו-5 ק"ג, בהתאמה. יש צורך לקבוע באיזה כיוון ובאיזה מהירות המערכת תנוע לאחר שהכדורים יתנגשו וידבקו זה לזה.
התנופה של המערכת לפני ההתנגשות נקבעת על פי ההבדל במומנטום של כל כדור (ההפרש נלקח בגלל שהגופים מכוונים לכיוונים שונים). לאחר ההתנגשות, המומנטום p¯ מבוטא רק על ידי חלקיק אחד, שהמסה שלו שווה ל-m1 + m2. מכיוון שהכדורים נעים רק לאורך ציר X, יש לנו את הביטוי:
m1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
היכן המהירות הלא ידועה היא מהנוסחה:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
החלפת הנתונים מהתנאי, נקבל את התשובה: u=0, 625 m/s. ערך מהירות חיובי מציין שהמערכת תנוע בכיוון ציר ה-X לאחר הפגיעה, ולא נגדה.
