משוואות רבועיות מופיעות לעתים קרובות במספר בעיות במתמטיקה ובפיסיקה, כך שכל תלמיד אמור להיות מסוגל לפתור אותן. מאמר זה מפרט את השיטות העיקריות לפתרון משוואות ריבועיות, וכן מספק דוגמאות לשימוש בהן.
איזו משוואה נקראת ריבועית
קודם כל, נשיב על השאלה של פסקה זו כדי להבין טוב יותר על מה יעסוק המאמר. אז, למשוואה הריבועית יש את הצורה הכללית הבאה: c + bx+ax2=0, כאשר a, b, c הם כמה מספרים, הנקראים מקדמים. כאן a≠0 הוא תנאי חובה, אחרת המשוואה המצוינת מידרדרת ללינארית. המקדמים הנותרים (b, c) יכולים לקחת כל ערכים, כולל אפס. לפיכך, ביטויים כמו ax2=0, כאשר b=0 ו-c=0, או c+ax2=0, כאשר b=0, או bx+ax2=0, כאשר c=0 הן גם משוואות ריבועיות, הנקראות לא שלמות, מכיוון שהמקדם הליניארי b בהן הוא אפס או אפסהוא מונח חופשי c, או ששניהם נעלמים.
משוואה שבה a=1 נקראת מופחתת, כלומר יש לה את הצורה: x2 + с/a + (b/a)x=0.
הפתרון של משוואה ריבועית הוא למצוא ערכי x כאלה שעומדים בשוויון שלה. ערכים אלו נקראים שורשים. מכיוון שהמשוואה הנבדקת היא ביטוי למעלה השנייה, המשמעות היא שהמספר המרבי של השורשים שלה לא יכול לעלות על שניים.
אילו שיטות לפתרון משוואות ריבועיות קיימות
באופן כללי, ישנן 4 שיטות פתרון. שמותיהם מפורטים למטה:
- Factoring.
- תוספת לכיכר.
- באמצעות נוסחה ידועה (באמצעות ההבחנה).
- שיטת הפתרון היא גיאומטרית.
כפי שניתן לראות מהרשימה לעיל, שלוש השיטות הראשונות הן אלגבריות, ולכן נעשה בהן שימוש לעתים קרובות יותר מהקודמת, הכוללת שרטוט של פונקציה.
ישנה דרך נוספת לפתור משוואות ריבועיות באמצעות משפט Vieta. זה יכול להיכלל במקום החמישי ברשימה למעלה, עם זאת, זה לא נעשה, מכיוון שמשפט וייטה הוא תוצאה פשוטה של השיטה השלישית.
בהמשך המאמר נשקול ביתר פירוט את שיטות הפתרון הנקובות, וכן ניתן דוגמאות לשימוש בהן כדי למצוא את השורשים של משוואות ספציפיות.
שיטה 1. פקטורינג
לשיטה זו במתמטיקה של משוואות ריבועיות, ישנהשם: פירוק לגורמים. המהות של שיטה זו היא כדלקמן: יש צורך להציג את המשוואה הריבועית כמכפלה של שני איברים (ביטויים), שחייבים להיות שווה לאפס. לאחר ייצוג כזה, תוכל להשתמש במאפיין המוצר, שיהיה שווה לאפס רק כאשר אחד או יותר (כל) האיברים שלו הם אפס.
עכשיו שקול את רצף הפעולות הספציפיות שצריך לבצע כדי למצוא את שורשי המשוואה:
- הזז את כל האיברים לחלק אחד של הביטוי (לדוגמה, שמאלה) כך שרק 0 יישאר בחלקו השני (ימני).
- ייצג את סכום האיברים בחלק אחד של המשוואה כמכפלה של שתי משוואות לינאריות.
- הגדר כל אחד מהביטויים הליניאריים לאפס ופתור אותם.
כפי שאתה יכול לראות, אלגוריתם הפירוק לגורמים הוא די פשוט, עם זאת, לרוב התלמידים יש קשיים במהלך היישום של הנקודה השנייה, אז נסביר זאת ביתר פירוט.
כדי לנחש אילו 2 ביטויים ליניאריים, כשהם מוכפלים זה בזה, יתנו את המשוואה הריבועית הרצויה, עליכם לזכור שני כללים פשוטים:
- מקדמים לינאריים של שני ביטויים ליניאריים, כשהם מוכפלים זה בזה, צריכים לתת את המקדם הראשון של המשוואה הריבועית, כלומר, המספר a.
- המונחים החופשיים של ביטויים ליניאריים, כשהם מוכפלים, צריכים לתת את המספר c של המשוואה הרצויה.
לאחר בחירת כל המספרים של הגורמים, יש להכפיל אותם, ואם הם נותנים את המשוואה הרצויה, עבור לשלב 3 בהאלגוריתם שלעיל, אחרת עליך לשנות את המכפילים, אך עליך לעשות זאת כך שהכללים שלעיל יימשכו תמיד.
דוגמה לפתרון לפי שיטת פירוק לגורמים
בוא נראה בבירור כיצד האלגוריתם לפתרון משוואה ריבועית הוא לחבר ולמצוא שורשים לא ידועים. תנו ביטוי שרירותי, למשל, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. נעבור לפתרון שלו, תוך התבוננות ברצף הנקודות מ-1 עד 3, המפורטות בפסקה הקודמת של המאמר.
פריט 1. העבר את כל האיברים לצד שמאל וסדר אותם ברצף הקלאסי עבור משוואה ריבועית. יש לנו את השוויון הבא: 2x+(-8)+x2=0.
פריט 2. אנו מפרקים אותו למכפלה של משוואות ליניאריות. מכיוון ש-a=1, ו-c=-8, אז נבחר, למשל, מוצר כזה (x-2)(x+4). הוא עונה על הכללים למציאת הגורמים הצפויים המפורטים בפסקה לעיל. אם נפתח את הסוגריים נקבל: -8+2x+x2, כלומר נקבל בדיוק את אותו ביטוי כמו בצד שמאל של המשוואה. המשמעות היא שניחשנו נכון את המכפילים, ונוכל להמשיך לשלב השלישי באלגוריתם.
פריט 3. נשווה כל גורם לאפס, נקבל: x=-4 ו-x=2.
אם יש ספקות לגבי התוצאה, מומלץ לבדוק על ידי החלפת השורשים שנמצאו במשוואה המקורית. במקרה זה, יש לנו: 22+22-8=0 ו-2(-4)+(-4)2 -8=0. שורשים נמצאו כהלכה.
לכן, באמצעות שיטת הפירוק לגורמים, מצאנו שלמשוואה הנתונה יש שני שורשים שוניםיש: 2 ו-4.
שיטה 2. השלמה לריבוע המלא
באלגברה של משוואות ריבועיות, לא תמיד ניתן להשתמש בשיטת המכפיל, שכן במקרה של ערכי שבר של מקדמי המשוואה הריבועית, מתעוררים קשיים ביישום פסקה 2 של האלגוריתם.
שיטת הריבוע המלא, בתורה, היא אוניברסלית וניתנת ליישום על משוואות ריבועיות מכל סוג. המהות שלו היא לבצע את הפעולות הבאות:
- יש להעביר את איברי המשוואה המכילים את המקדמים a ו-b לחלק אחד של המשוואה, ואת האיבר החופשי c לחלק השני.
- לאחר מכן, יש לחלק את חלקי השוויון (ימין ושמאל) במקדם a, כלומר להציג את המשוואה בצורה מוקטנת (a=1).
- סכם את האיברים עם מקדמים a ו-b כדי לייצג כריבוע של משוואה לינארית. מאז \u003d 1, אז המקדם הליניארי יהיה שווה ל-1, באשר למונח החופשי של המשוואה הליניארית, אז הוא צריך להיות שווה למחצית המקדם הליניארי של המשוואה הריבועית המופחתת. לאחר שרטוט הריבוע של הביטוי הליניארי, יש צורך להוסיף את המספר המתאים לצד הימני של השוויון, שבו נמצא האיבר החופשי, שמתקבל על ידי הרחבת הריבוע.
- קח את השורש הריבועי עם סימני "+" ו-"-" ופתור את המשוואה הליניארית שכבר התקבלה.
האלגוריתם המתואר עלול להיתפס במבט ראשון כמסובך למדי, אולם בפועל קל יותר ליישם אותו מאשר שיטת הפירוק לגורמים.
דוגמה לפתרון המשתמש בהשלמה הריבועית המלאה
בוא ניתן דוגמה למשוואה ריבועית לאימון הפתרון שלה בשיטה שתוארה בפסקה הקודמת. תן את המשוואה הריבועית -10 - 6x+5x2=0. אנו מתחילים לפתור אותה לפי האלגוריתם שתואר לעיל.
פריט 1. אנו משתמשים בשיטת ההעברה בעת פתרון משוואות ריבועיות, נקבל: - 6x+5x2=10.
נקודה 2. הצורה המוקטנת של משוואה זו מתקבלת על ידי חלוקה במספר 5 של כל אחד מהאיברים שלה (אם שני החלקים מחולקים או מוכפלים באותו מספר, אז השוויון יישמר). כתוצאה מהשינויים, נקבל: x2 - 6/5x=2.
פריט 3. חצי מהמקדם - 6/5 הוא -6/10=-3/5, השתמש במספר זה כדי להשלים את הריבוע, נקבל: (-3/5+x) 2 . אנו מרחיבים אותו ויש להפחית את האיבר החופשי המתקבל מהצד השמאלי של השוויון כדי לספק את הצורה המקורית של המשוואה הריבועית, המקבילה להוספתו לצד ימין. כתוצאה מכך, נקבל: (-3/5+x)2=59/25.
פריט 4. חשב את השורש הריבועי עם סימנים חיוביים ושליליים ומצא את השורשים: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. לשני השורשים שנמצאו יש את הערכים הבאים: x1=(√59+3)/5 ו-x1=(3-√59)/5.
מאחר והחישובים שבוצעו קשורים לשורשים, יש סבירות גבוהה לטעות. לכן, מומלץ לבדוק את נכונות השורשים x2 ו-x1. אנחנו מקבלים עבור x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. החלף עכשיוx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
לפיכך, הראינו שהשורשים שנמצאו של המשוואה נכונים.
שיטה 3. יישום הנוסחה הידועה
שיטה זו לפתרון משוואות ריבועיות היא אולי הפשוטה ביותר, מכיוון שהיא מורכבת מהחלפת המקדמים בנוסחה ידועה. כדי להשתמש בו, אתה לא צריך לחשוב על קומפילציה של אלגוריתמי פתרון, זה מספיק כדי לזכור רק נוסחה אחת. זה מוצג בתמונה למעלה.
בנוסחה זו, הביטוי הרדיקלי (b2-4ac) נקרא המבחין (D). מערכו תלוי אילו שורשים מתקבלים. ישנם 3 מקרים:
- D>0, אז למשוואת השורש שתיים יש ממשות ושונות.
- D=0, ואז מקבלים את השורש, אותו ניתן לחשב מהביטוי x=-b/(a2).
- D<0, אז אתה מקבל שני שורשים דמיוניים שונים, שמיוצגים כמספרים מרוכבים. לדוגמה, המספר 3-5i הוא מורכב, בעוד שהיחידה הדמיונית i עונה על המאפיין: i2=-1.
דוגמה לפתרון על ידי חישוב המבחין
בוא ניתן דוגמה של משוואה ריבועית לתרגול באמצעות הנוסחה שלעיל. מצא את השורשים עבור -3x2-6+3x+4x=0. ראשית, חשב את הערך של המבחין, נקבל: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
מאחר שמתקבל D<0, זה אומר שהשורשים של המשוואה הנחשבת הם מספרים מרוכבים. בואו נמצא אותם על ידי החלפת הערך שנמצא D בנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת (היא מוצגת גם בתמונה למעלה). נקבל: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
שיטה 4. שימוש בתרשים הפונקציות
זה נקרא גם השיטה הגרפית לפתרון משוואות ריבועיות. יש לומר שככלל, הוא משמש לא לניתוח כמותי, אלא לניתוח איכותי של המשוואה הנבדקת.
מהות השיטה היא לשרטט פונקציה ריבועית y=f(x), שהיא פרבולה. לאחר מכן, יש צורך לקבוע באילו נקודות הפרבולה חותכת את ציר ה-x (X), הם יהיו השורשים של המשוואה המתאימה.
כדי לדעת אם פרבולה תחצה את ציר ה-X, מספיק לדעת את מיקום המינימום (המקסימום) שלה ואת כיוון הענפים שלה (הם יכולים להגדיל או להקטין). יש לזכור שני מאפיינים של עקומה זו:
- If a>0 - הפרבולות של הענף מכוונות כלפי מעלה, להיפך, אם a<0, אז הן יורדות.
- הקואורדינטה המינימלית (המקסימלית) של פרבולה היא תמיד x=-b/(2a).
לדוגמה, עליך לקבוע אם למשוואה -4x+5x2+10=0 יש שורשים. הפרבולה המתאימה תהיה מכוונת כלפי מעלה, מכיוון ש-=5>0. לקצה הקיצוני שלו יש קואורדינטות: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. מאז המינימום של העקומה נמצא מעל ציר ה-x (y=9, 2), ואז הוא אינו חוצה את האחרון עבור כלערכי x. כלומר, למשוואה הנתונה אין שורשים אמיתיים.
משפט וייטה
כפי שצוין לעיל, משפט זה הוא תולדה של שיטה מס' 3, המבוססת על יישום של נוסחה עם אבחנה. המהות של משפט וייטה היא שהוא מאפשר לחבר את המקדמים של המשוואה והשורשים שלה לכדי שוויון. בוא נקבל את השוויון התואם.
בוא נשתמש בנוסחה לחישוב השורשים דרך המבחין. הוסף שני שורשים, נקבל: x1+x2=-b/a. כעת נכפיל את השורשים זה בזה: x1x2, לאחר סדרה של הפשטות נקבל את המספר c/a.
לפיכך, כדי לפתור את המשוואות הריבועיות לפי משפט Vieta, אתה יכול להשתמש בשני השוויון שהתקבל. אם כל שלושת המקדמים של משוואה ידועים, אזי ניתן למצוא את השורשים על ידי פתרון המערכת המתאימה של שתי המשוואות הללו.
דוגמה לשימוש במשפט Vieta
עליך לכתוב משוואה ריבועית אם אתה יודע שיש לה את הצורה x2+c=-bx והשורשים שלה הם 3 ו-4.
מאז a=1 במשוואה הנבדקת, נוסחאות ה-Vieta ייראו כך: x2+x1=-b ו-x2x1=p. בהחלפת הערכים הידועים של השורשים, נקבל: b=1 ו-c=-12. כתוצאה מכך, המשוואה המופחתת הריבועית המשוחזרת תיראה כך: x2-12=-1x. אתה יכול להחליף את ערך השורשים לתוכו ולוודא שהשוויון מתקיים.
יישום הפוך של משפט Vieta, כלומר, חישוב השורשים על ידיצורה ידועה של המשוואה, מאפשרת למספרים שלמים קטנים a, b ו-c למצוא במהירות (אינטואיטיבית) פתרונות.
