אי-שוויון ומערכות אי-שוויון הוא אחד מהנושאים הנלמדים באלגברה בתיכון. מבחינת קושי, זה לא הכי קשה, כי יש לו כללים פשוטים (עליהם קצת יותר מאוחר). ככלל, תלמידי בית הספר לומדים את הפתרון של מערכות אי-שוויון די בקלות. זה נובע גם מהעובדה שמורים פשוט "מאמנים" את תלמידיהם בנושא זה. והם לא יכולים אלא לעשות זאת, כי זה נלמד בעתיד עם שימוש בכמויות מתמטיות אחרות, וגם נבדק עבור OGE ובחינת המדינה המאוחדת. בספרי הלימוד בבית הספר, נושא אי-השוויון ומערכות האי-שוויון מכוסה בפירוט רב, כך שאם אתם מתכוונים ללמוד אותו, אז עדיף לפנות אליהם. מאמר זה הוא רק פרפרזה על חומר רב ועשוי להכיל כמה השמטות.
המושג של מערכת של אי-שוויון
אם נפנה לשפה המדעית, נוכל להגדיר את המושג "מערכתאי-שוויון". זהו מודל מתמטי כזה המייצג כמה אי-שוויון. כמובן, מודל זה דורש פתרון, והוא יהיה התשובה הכללית לכל אי-השוויון של המערכת המוצעת במשימה (בדרך כלל הוא כתוב כך, עבור דוגמה: "פתור את מערכת אי השוויון 4 x + 1 > 2 ו-30 - x > 6… ").
מערכות של אי-שוויון ומערכות משוואות
בתהליך לימוד נושא חדש, לעיתים קרובות מתעוררות אי הבנות. מצד אחד הכל ברור ואני מעדיף להתחיל לפתור משימות, אבל מצד שני יש רגעים שנשארים ב"צל", הם לא מובנים היטב. כמו כן, אלמנטים מסוימים של ידע שכבר נרכש יכולים להיות שזורים עם אלמנטים חדשים. טעויות מתרחשות לעתים קרובות כתוצאה מחפיפה זו.
לפיכך, לפני שנמשיך לניתוח הנושא שלנו, עלינו לזכור את ההבדלים בין משוואות ואי-שוויון, המערכות שלהם. לשם כך, יש צורך להבהיר שוב מה הם המושגים המתמטיים הללו. משוואה היא תמיד שוויון, והיא תמיד שווה למשהו (במתמטיקה, מילה זו מסומנת בסימן "="). אי שוויון הוא מודל שבו ערך אחד גדול או קטן מאחר, או מכיל את הקביעה שהם אינם זהים. לפיכך, במקרה הראשון, ראוי לדבר על שוויון, ובשני, לא משנה עד כמה זה יישמע ברור מאליו.השם עצמו, על אי השוויון של הנתונים הראשוניים. מערכות המשוואות ואי השוויון למעשה אינן שונות זו מזו והשיטות לפתרון שלהן זהות. ההבדל היחיד הוא שהראשון משתמש בשוויון ואילו השני משתמש באי שוויון.
סוגי אי-שוויון
ישנם שני סוגים של אי-שוויון: מספרי ועם משתנה לא ידוע. הסוג הראשון מסופק ערכים (מספרים) שאינם שווים זה לזה, למשל, 8 > 10. הסוג השני הוא אי-שוויון המכילים משתנה לא ידוע (מסומן על ידי אות כלשהי באלפבית הלטיני, לרוב X). צריך למצוא את המשתנה הזה. תלוי כמה יש, המודל המתמטי מבחין בין אי-שוויון עם אחד (הם מרכיבים מערכת של אי-שוויון עם משתנה אחד) או כמה משתנים (הם מרכיבים מערכת של אי-שוויון עם כמה משתנים).
שני הסוגים האחרונים, לפי מידת בנייתם ורמת המורכבות של הפתרון, מחולקים לפשוטים ומורכבים. פשוטים נקראים גם אי-שוויון ליניארי. הם, בתורם, מחולקים לקפדנים ולא קפדניים. קפדנית במפורש "תגיד" שערך אחד חייב להיות פחות או יותר, אז זה אי שוויון טהור. ישנן מספר דוגמאות: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 וכו'. אלה שאינם קפדניים כוללים גם שוויון. כלומר, ערך אחד יכול להיות גדול או שווה לערך אחר (סימן "≧") או קטן או שווה לערך אחר (סימן "≦"). עדיין בתורבאי-שוויון, המשתנה אינו עומד בשורש, ריבוע, אינו מתחלק בשום דבר, ולכן הם נקראים "פשוטים". מורכבים כוללים משתנים לא ידועים, אשר מציאתם דורשת יותר פעולות מתמטיות. הם לרוב נמצאים בריבוע, קובייה או מתחת לשורש, הם יכולים להיות מודולריים, לוגריתמיים, שברים וכו'. אבל מכיוון שהמשימה שלנו היא להבין את הפתרון של מערכות אי-שוויון, נדבר על מערכת של אי-שוויון ליניארי. עם זאת, לפני כן, יש לומר כמה מילים על תכונותיהם.
מאפיינים של אי-שוויון
המאפיינים של אי-שוויון כוללים את ההוראות הבאות:
- סימן אי השוויון מתהפך אם מופעלת הפעולה לשינוי רצף הצלעות (לדוגמה, אם t1 ≦ t2, ואז t 2 ≧ t1).
- שני החלקים של אי השוויון מאפשרים לך להוסיף את אותו מספר לעצמך (לדוגמה, אם t1 ≦ t2, ואז t 1 + מספר ≦ t2 + מספר).
- שני אי-שוויון או יותר עם הסימן של אותו כיוון מאפשרים לך להוסיף את החלקים השמאלי והימני שלהם (לדוגמה, אם t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, ולאחר מכן t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- שני חלקי אי השוויון מאפשרים להכפיל או לחלק את עצמם באותו מספר חיובי (לדוגמה, אם t1 ≦ t2ומספר ≦ 0, ואז מספר t1 ≧ מספר t2).
- שני אי-שוויון או יותר שיש להם מונחים חיוביים וסימן לאותו כיוון מאפשריםתכפילו זה את זה (לדוגמה, אם t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 ואז t1 t3 ≦ t2 t4).
- שני חלקי אי השוויון מאפשרים להכפיל או לחלק את עצמם באותו מספר שלילי, אבל סימן אי השוויון משתנה (לדוגמה, אם t1 ≦ t2 ומספר ≦ 0, ואז מספר t1 ≧ מספר t2).
- כל אי השוויון הם טרנזיטיביים (לדוגמה, אם t1 ≦ t2 ו-t2≦ t3, ולאחר מכן t1 ≦ t3).
כעת, לאחר לימוד ההוראות העיקריות של התיאוריה הקשורות לאי-שוויון, נוכל להמשיך ישירות לבחינת הכללים לפתרון המערכות שלהם.
פתרון מערכות אי-שוויון. מידע כללי. פתרונות
כפי שצוין לעיל, הפתרון הוא ערכי המשתנה שמתאימים לכל אי השוויון של המערכת הנתונה. הפתרון של מערכות אי-שוויון הוא יישום של פעולות מתמטיות שמובילות בסופו של דבר לפתרון המערכת כולה או מוכיחות שאין לה פתרונות. במקרה זה, אומרים שהמשתנה מתייחס לקבוצת המספרים הריקה (שכתובה כך: האות שמציינת את המשתנה ∈ (הסימן "שייך") ø (הסימן "קבוצה ריקה"), למשל, x ∈ ø (הוא נקרא כך: "המשתנה "x" שייך לקבוצה הריקה"). ישנן מספר דרכים לפתור מערכות של אי-שוויון:שיטת החלפה גרפית, אלגברית. ראוי לציין שהם מתייחסים לאותם מודלים מתמטיים שיש להם כמה משתנים לא ידועים. במקרה שבו יש רק אחד, שיטת הריווח תתאים.
שיטה גרפית
מאפשר לך לפתור מערכת של אי-שוויון עם כמה אלמונים (משניים או יותר). הודות לשיטה זו, מערכת אי השוויון הליניארית נפתרת די בקלות ובמהירות, ולכן היא השיטה הנפוצה ביותר. הסיבה לכך היא שזימה מפחיתה את כמות כתיבת הפעולות המתמטיות. זה הופך להיות נעים במיוחד לקחת הפסקה קטנה מהעט, להרים עיפרון עם סרגל ולהמשיך בפעולות נוספות בעזרתם כאשר נעשתה עבודה רבה ואתה רוצה קצת גיוון. עם זאת, יש כאלה שלא אוהבים את השיטה הזו בגלל העובדה שאתה צריך להתנתק מהמשימה ולעבור את הפעילות המנטלית שלך לציור. עם זאת, זו דרך יעילה מאוד.
כדי לפתור מערכת של אי-שוויון בשיטה גרפית, יש צורך להעביר את כל האיברים של כל אי-שוויון לצד השמאלי שלהם. הסימנים יהיו הפוכים, יש לכתוב אפס בצד ימין, ואז כל אי שוויון ייכתב בנפרד. כתוצאה מכך, פונקציות יתקבלו מאי שוויון. לאחר מכן, אתה יכול לקבל עיפרון וסרגל: עכשיו אתה צריך לצייר גרף של כל פונקציה שהתקבלה. כל קבוצת המספרים שתהיה במרווח ההצטלבות שלהם תהיה הפתרון למערכת האי-שוויון.
דרך אלגברית
מאפשר לך לפתור מערכת של אי-שוויון עם שני משתנים לא ידועים. גם באי-שוויון חייב להיות אותו סימן אי-שוויון (כלומר, עליהם להכיל או רק את הסימן "גדול מ" או רק את הסימן "פחות מ" וכו') למרות מגבלותיה, גם שיטה זו מורכבת יותר. הוא מיושם בשני שלבים.
הראשון כולל היפטרות מאחד המשתנים הלא ידועים. ראשית עליך לבחור בו, ולאחר מכן לבדוק את נוכחותם של מספרים מול המשתנה הזה. אם אין כאלה (אז המשתנה ייראה כמו אות בודדת), אז לא נשנה כלום, אם יש (סוג המשתנה יהיה, למשל, 5y או 12y), אז יש צורך לוודא שבכל אי שוויון המספר מול המשתנה הנבחר זהה. לשם כך, עליך להכפיל כל איבר באי-השוויון בגורם משותף, למשל, אם כתוב 3y באי-השוויון הראשון, ו-5y בשני, אז צריך להכפיל את כל האיברים של האי-שוויון הראשון ב-5, והשני ב-3. אתה מקבל 15 שנים ו-15 שנים, בהתאמה.
השלב השני של ההחלטה. יש צורך להעביר את הצד השמאלי של כל אי-שוויון לצדדים הימניים שלהם עם שינוי בסימן של כל מונח להיפך, לכתוב אפס בצד ימין. ואז מגיע החלק המהנה: להיפטר מהמשתנה הנבחר (המכונה גם "הפחתה") תוך חיבור אי השוויון. תקבל אי שוויון עם משתנה אחד שצריך לפתור. לאחר מכן, אתה צריך לעשות את אותו הדבר, רק עם משתנה לא ידוע אחר. התוצאות שיתקבלו יהיו הפתרון של המערכת.
שיטת החלפה
מאפשר לך לפתור מערכת של אי-שוויון כאשר יש לך הזדמנות להציג משתנה חדש. בדרך כלל משתמשים בשיטה זו כאשר המשתנה הלא ידוע במונח אחד של אי השוויון מועלה לחזקת רביעית, ובמונח השני הוא מרובע. לפיכך, שיטה זו מכוונת לצמצם את מידת האי-שוויון במערכת. אי השוויון המדגם x4 - x2 - 1 ≦ 0 נפתר בדרך זו כדלקמן. משתנה חדש מוצג, למשל t. הם כותבים: "תן t=x2", ואז המודל נכתב מחדש בצורה חדשה. במקרה שלנו, נקבל t2 - t - 1 ≦0. את אי השוויון הזה צריך לפתור בשיטת המרווחים (על זה קצת מאוחר יותר), ואז לחזור למשתנה X, ואז לעשות את אותו הדבר עם אי שוויון אחר. התשובות שיתקבלו יהיו החלטת המערכת.
שיטת מרווח
זו הדרך הקלה ביותר לפתור מערכות של אי-שוויון, ויחד עם זאת היא אוניברסלית ונפוצה. משתמשים בו בתיכון, ואפילו בתיכון. המהות שלו טמונה בעובדה שהתלמיד מחפש מרווחים של אי שוויון על קו המספרים, שמצויר במחברת (זה לא גרף, אלא רק קו ישר רגיל עם מספרים). במקום שבו מרווחי אי השוויון מצטלבים, נמצא הפתרון של המערכת. כדי להשתמש בשיטת הריווח, בצע את השלבים הבאים:
- כל האיברים של כל אי-שוויון מועברים לצד שמאל עם שינוי סימן לכיוון ההפוך (כתוב אפס בצד ימין).
- אי-שוויון נכתב בנפרד, הפתרון של כל אחד מהם נקבע.
- הצומתים של אי-שוויון על המספרייָשָׁר. כל המספרים בצמתים אלו יהיו הפתרון.
באיזו דרך להשתמש?
ברור שזה שנראה הכי קל ונוח, אבל יש מקרים שבהם משימות דורשות שיטה מסוימת. לרוב, הם אומרים שאתה צריך לפתור או באמצעות גרף או באמצעות שיטת המרווחים. השיטה האלגברית וההחלפה משמשות לעתים רחוקות מאוד או בכלל, מכיוון שהן די מורכבות ומבלבלות, וחוץ מזה, הן משמשות יותר לפתרון מערכות משוואות ולא אי-שוויון, אז כדאי לפנות לשרטוט גרפים ומרווחים. הם מביאים לנראות, שלא יכולה אלא לתרום להתנהלות יעילה ומהירה של פעולות מתמטיות.
אם משהו לא עובד
במהלך לימוד נושא מסוים באלגברה, כמובן, עשויות להיות בעיות בהבנתו. וזה נורמלי, כי המוח שלנו מעוצב בצורה כזו שהוא לא מסוגל להבין חומר מורכב במכה אחת. לעתים קרובות אתה צריך לקרוא שוב פסקה, להיעזר במורה או להתאמן בפתרון בעיות אופייניות. במקרה שלנו, הם נראים, למשל, כך: "פתרו את מערכת אי השוויון 3 x + 1 ≧ 0 ו-2 x - 1 > 3". לפיכך, חתירה אישית, עזרה מבחוץ ותרגול עוזרים בהבנת כל נושא מורכב.
רשבניק?
וגם ספר הפתרונות טוב מאוד, אבל לא לרמות שיעורי בית, אלא לעזרה עצמית. בהם ניתן למצוא מערכות של אי-שוויון עם פתרון, תראואותם (כמו תבניות), נסה להבין בדיוק כיצד התמודד מחבר הפתרון עם המשימה, ולאחר מכן נסה לעשות זאת בעצמו.
מסקנות
אלגברה הוא אחד המקצועות הקשים ביותר בבית הספר. ובכן, מה אתה יכול לעשות? מתמטיקה תמיד הייתה כזו: לחלק זה בא בקלות, ולאחרים זה קשה. אך בכל מקרה, יש לזכור שתכנית החינוך הכללי מעוצבת כך שכל תלמיד יוכל להתמודד איתה. בנוסף, אתה צריך לזכור מספר עצום של עוזרים. כמה מהם הוזכרו לעיל.
