בגיאומטריה, אחרי נקודה, קו ישר הוא אולי האלמנט הפשוט ביותר. הוא משמש בבניית כל דמויות מורכבות במישור ובמרחב תלת מימדי. במאמר זה נשקול את המשוואה הכללית של קו ישר ונפתור כמה בעיות באמצעותה. בואו נתחיל!
קו ישר בגיאומטריה
כולם יודעים שצורות כמו מלבן, משולש, פריזמה, קובייה וכן הלאה נוצרות על ידי מפגש של קווים ישרים. קו ישר בגיאומטריה הוא עצם חד מימדי שניתן להשיג על ידי העברת נקודה מסוימת לוקטור בעל כיוון זהה או הפוך. כדי להבין טוב יותר את ההגדרה הזו, דמיינו שיש איזו נקודה P במרחב. קח וקטור שרירותי u¯ במרחב הזה. אז ניתן לקבל כל נקודה Q של הקו כתוצאה מהפעולות המתמטיות הבאות:
Q=P + λu¯.
כאן λ הוא מספר שרירותי שיכול להיות חיובי או שלילי. אם שוויוןכתוב למעלה במונחים של קואורדינטות, ואז נקבל את המשוואה הבאה של קו ישר:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
השוויון הזה נקרא משוואת קו ישר בצורה וקטורית. והווקטור u¯ נקרא מדריך.
משוואה כללית של קו ישר במישור
כל תלמיד יכול לרשום זאת ללא כל קושי. אבל לרוב המשוואה כתובה כך:
y=kx + b.
כאשר k ו-b הם מספרים שרירותיים. המספר b נקרא החבר החופשי. הפרמטר k שווה לטנגנס של הזווית שנוצרת מחיתוך הישר עם ציר ה-x.
המשוואה שלעיל באה לידי ביטוי ביחס למשתנה y. אם נציג אותו בצורה כללית יותר, נקבל את הסימון הבא:
Ax + By + C=0.
קל להראות שצורה זו של כתיבת המשוואה הכללית של ישר במישור הופכת בקלות לצורה הקודמת. לשם כך, יש לחלק את החלק השמאלי והימני בגורם B ולבטא y.
האיור שלמעלה מציג קו ישר העובר דרך שתי נקודות.
קו בחלל תלת-ממדי
בוא נמשיך את המחקר שלנו. שקלנו את השאלה כיצד ניתנת משוואת קו ישר בצורה כללית במישור. אם נחיל את הסימון שניתן בפסקה הקודמת של המאמר עבור המקרה המרחבי, מה נקבל? הכל פשוט - לא עוד קו ישר, אלא מישור. אכן, הביטוי הבא מתאר מישור המקביל לציר z:
Ax + By + C=0.
אם C=0, אז מטוס כזה עוברדרך ציר z. זוהי תכונה חשובה.
איך להיות אז עם המשוואה הכללית של קו ישר במרחב? כדי להבין איך לשאול את זה, אתה צריך לזכור משהו. שני מישורים מצטלבים לאורך קו ישר מסוים. מה זה אומר? רק שהמשוואה הכללית היא תוצאה של פתרון מערכת של שתי משוואות למישורים. בוא נכתוב את המערכת הזו:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
מערכת זו היא המשוואה הכללית של קו ישר במרחב. שימו לב שאסור שהמישורים יהיו מקבילים זה לזה, כלומר, הווקטורים הרגילים שלהם חייבים להיות נטויים בזווית כלשהי ביחס זה לזה. אחרת, למערכת לא יהיו פתרונות.
למעלה נתנו את הצורה הווקטורית של המשוואה לישר. זה נוח לשימוש בעת פתרון מערכת זו. כדי לעשות זאת, תחילה עליך למצוא את המכפלה הווקטורית של הנורמלים של המישורים הללו. התוצאה של פעולה זו תהיה וקטור כיוון של קו ישר. לאחר מכן, יש לחשב כל נקודה השייכת לקו. לשם כך, עליך להגדיר כל אחד מהמשתנים שווה לערך מסוים, ניתן למצוא את שני המשתנים הנותרים על ידי פתרון המערכת המופחתת.
איך לתרגם משוואה וקטורית לכללית? ניואנסים
זו בעיה אמיתית שיכולה להתעורר אם אתה צריך לכתוב את המשוואה הכללית של ישר באמצעות הקואורדינטות הידועות של שתי נקודות.הבה נראה כיצד בעיה זו נפתרת באמצעות דוגמה. יש לדעת את הקואורדינטות של שתי נקודות:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
משוואה בצורה וקטורית די קלה לחיבור. קואורדינטות וקטור הכיוון הן:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
שימו לב שאין הבדל אם נחסר את קואורדינטות ה-Q מקואורדינטות של נקודת P, הווקטור רק ישנה את כיוונו להיפך. כעת עליך לקחת כל נקודה ולכתוב את המשוואה הווקטורית:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
כדי לכתוב את המשוואה הכללית של קו ישר, יש לבטא את הפרמטר λ בשני המקרים. ואז השוו את התוצאות. יש לנו:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
נותר רק לפתוח את הסוגריים ולהעביר את כל איברי המשוואה לצד אחד של המשוואה כדי לקבל ביטוי כללי לישר העובר בשתי נקודות ידועות.
במקרה של בעיה תלת מימדית, אלגוריתם הפתרון נשמר, רק התוצאה שלו תהיה מערכת של שתי משוואות למישורים.
משימה
יש צורך ליצור משוואה כלליתקו ישר החותך את ציר ה-x ב-(-3, 0) ומקביל לציר ה-y.
בוא נתחיל לפתור את הבעיה על ידי כתיבת המשוואה בצורה וקטורית. מכיוון שהקו מקביל לציר ה-y, אזי וקטור הכיוון שלו יהיה הבא:
u¯=(0, 1).
אז השורה הרצויה תיכתב באופן הבא:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
עכשיו בואו נתרגם את הביטוי הזה לצורה כללית, לשם כך אנו מבטאים את הפרמטר λ:
- x=-3;
- y=λ.
לכן, כל ערך של המשתנה y שייך לקו, אולם רק הערך היחיד של המשתנה x מתאים לו. לכן, המשוואה הכללית תהיה בצורה:
x + 3=0.
בעיה עם קו ישר ברווח
ידוע ששני מישורים מצטלבים ניתנים במשוואות הבאות:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
יש צורך למצוא את המשוואה הווקטורית של הישר שלאורכו מישורים אלו נחתכים. בואו נתחיל.
כפי שנאמר, המשוואה הכללית של קו ישר במרחב התלת מימדי ניתנת כבר בצורה של מערכת של שניים עם שלושה לא ידועים. קודם כל, אנו קובעים את וקטור הכיוון שלאורכו מצטלבים המטוסים. מכפלת הקואורדינטות הווקטוריות של הנורמלים למישורים, נקבל:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
מכיוון שהכפלת וקטור במספר שלילי הופכת את הכיוון שלו, נוכל לכתוב:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
לכדי למצוא ביטוי וקטור לישר, בנוסף לווקטור הכיוון, צריך לדעת נקודה כלשהי של הישר הזה. מצא מאחר והקואורדינטות שלו חייבות לספק את מערכת המשוואות במצב הבעיה, אז נמצא אותן. לדוגמה, נניח x=0, ואז נקבל:
y=z;
y=3/2=1, 5.
לפיכך, לנקודה השייכת לקו הישר הרצוי יש את הקואורדינטות:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
אז נקבל את התשובה לבעיה הזו, המשוואה הווקטורית של הקו הרצוי תיראה כך:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
ניתן לבדוק בקלות את נכונות הפתרון. לשם כך, עליך לבחור ערך שרירותי של הפרמטר λ ולהחליף את הקואורדינטות המתקבלות של נקודת הישר בשתי המשוואות עבור המישורים, תקבל זהות בשני המקרים.
