מתמטיקה מקורה מהעת העתיקה. בזכותה העניקו האדריכלות, הבנייה ומדע הצבא סבב חדש של פיתוח, ההישגים שהושגו בעזרת המתמטיקה הובילו לתנועת הקידמה. עד היום, המתמטיקה נותרה המדע העיקרי שנמצא בכל הענפים האחרים.
כדי להתחנך, ילדים מכיתה א' מתחילים להתמזג בהדרגה לתוך הסביבה הזו. חשוב מאוד להבין מתמטיקה, שכן היא, במידה זו או אחרת, מתרחשת לכל אדם במהלך חייו. מאמר זה ינתח את אחד המרכיבים המרכזיים - מציאת ויישום נגזרות. לא כל אדם יכול לדמיין באיזו רחבה נעשה שימוש במושג זה. שקול יותר מ-10 יישומים של נגזרות בתחומים או מדעים מסוימים.
יישום הנגזרת לחקר פונקציה
הנגזרת היא מגבלה כזוהיחס בין התוספת של פונקציה לתוספת הארגומנט שלה כאשר המעריך של הארגומנט שואף לאפס. הנגזרת היא דבר הכרחי בחקר פונקציה. לדוגמה, זה יכול לשמש כדי לקבוע את העלייה והירידה של האחרון, קיצוני, קמור וקעור. חשבון דיפרנציאלי כלול בתכנית הלימודים של תלמידי שנה א' ו-ב' של אוניברסיטאות מתמטיות.
אפסים של היקף ופונקציה
השלב הראשון בכל מחקר של הגרף מתחיל בגילוי תחום ההגדרה, במקרים נדירים יותר - הערך. תחום ההגדרה נקבע לאורך ציר האבשיסה, במילים אחרות, אלו הם ערכים מספריים על ציר ה-OX. לעתים קרובות ה-scope כבר מוגדר, אבל אם לא, אז יש להעריך את הערך של הארגומנט x. נניח שאם עבור כמה ערכים של הארגומנט הפונקציה לא הגיונית, אז הארגומנט הזה לא נכלל בהיקף.
אפסים של הפונקציה נמצאים בצורה פשוטה: יש להשוות את הפונקציה f(x) לאפס ואת המשוואה המתקבלת יש לפתור ביחס למשתנה אחד x. השורשים המתקבלים של המשוואה הם האפסים של הפונקציה, כלומר ב-x אלה הפונקציה היא 0.
הגדלה והקטנה
השימוש בנגזרת ללימוד פונקציות למונוטוניות יכול להיחשב משתי עמדות. פונקציה מונוטונית היא קטגוריה שיש לה רק ערכים חיוביים של הנגזרת, או רק ערכים שליליים. במילים פשוטות, הפונקציה רק גדלה או רק יורדת לאורך כל המרווח הנבדק:
- הגדל את הפרמטר. פוּנקצִיָהf(x) יגדל אם הנגזרת של f`(x) גדולה מאפס.
- פרמטר יורד. הפונקציה f(x) תקטן אם הנגזרת של f`(x) קטנה מאפס.
טנג'נט ושיפוע
יישום הנגזרת לחקר פונקציה נקבע גם על ידי המשיק (קו ישר המכוון בזווית) לגרף של הפונקציה בנקודה נתונה. טנגנט בנקודה (x0) - קו שעובר דרך נקודה ושייך לפונקציה שהקואורדינטות שלה הן (x0, f(x 0 )) ובעל שיפוע f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - משוואת המשיק לנקודה הנתונה של גרף הפונקציה.
משמעות גיאומטרית של הנגזרת: הנגזרת של הפונקציה f(x) שווה לשיפוע המשיק שנוצר לגרף של פונקציה זו בנקודה נתונה x. מקדם הזוויתי, בתורו, שווה לטנגנס של זווית הנטייה של המשיק לציר ה-OX (abscissa) בכיוון החיובי. מסקנה זו היא יסודית ליישום הנגזרת בגרף של פונקציה.
נקודות קיצוניות
החלת נגזרת למחקר כרוכה במציאת נקודות גבוהות ונמוכות.
כדי למצוא ולקבוע את נקודות המינימום והמקסימום, עליך:
- מצא את הנגזרת של הפונקציה f(x).
- הגדר את המשוואה המתקבלת לאפס.
- מצא את השורשים של המשוואה.
- מצא נקודות גבוהות ונמוכות.
למצוא קיצוניותתכונות:
- מצא את נקודות המינימום והמקסימום באמצעות השיטה שלמעלה.
- החלף את הנקודות האלה במשוואה המקורית וחשב את ymax ו-ymin
נקודת המקסימום של הפונקציה היא הערך הגדול ביותר של הפונקציה f(x) במרווח, במילים אחרות xmax.
נקודת המינימום של הפונקציה היא הערך הקטן ביותר של הפונקציה f(x) במרווח, במילים אחרות xname
נקודות קיצוניות זהות לנקודות המקסימום והמינימום, ולנקודת הקיצון של הפונקציה (ymax. and yminimum) - ערכי פונקציה שמתאימים לנקודות קיצון.
קמורות וקעור
תוכל לקבוע את הקמורות והקיעור על ידי שימוש בנגזרת לשרטוט:
- פונקציה f(x) שנבחנת במרווח (a, b) היא קעורה אם הפונקציה ממוקמת מתחת לכל המשיקים שלה בתוך המרווח הזה.
- הפונקציה f(x) הנלמדת על המרווח (a, b) היא קמורה אם הפונקציה ממוקמת מעל כל המשיקים שלה בתוך המרווח הזה.
הנקודה שמפרידה בין קמור לקיעור נקראת נקודת הפיתול של הפונקציה.
כדי למצוא נקודות פיתול:
- מצא נקודות קריטיות מהסוג השני (נגזרת שנייה).
- נקודות פיתול הן אותן נקודות קריטיות שמפרידות בין שני סימנים מנוגדים.
- חשב ערכי פונקציה בנקודות פיתול של פונקציות.
נגזרים חלקיים
יישוםישנן נגזרות מסוג זה בבעיות שבהן נעשה שימוש ביותר ממשתנה לא ידוע אחד. לרוב, נגזרות כאלה נתקלות כאשר מתווים גרף פונקציה, ליתר דיוק, משטחים במרחב, שבהם במקום שני צירים יש שלושה, לפיכך, שלוש כמויות (שני משתנים וקבוע אחד).
הכלל הבסיסי בחישוב נגזרות חלקיות הוא לבחור משתנה אחד ולהתייחס לשאר כקבועים. לכן, כאשר מחשבים את הנגזרת החלקית, הקבוע הופך כאילו הוא ערך מספרי (בטבלאות רבות של נגזרות הן מסומנות כ-C=const). המשמעות של נגזרת כזו היא קצב השינוי של הפונקציה z=f(x, y) לאורך הצירים OX ו-OY, כלומר, היא מאפיינת את תלילות השקעים והבליטות של המשטח הבנוי.
נגזרת בפיזיקה
השימוש בנגזרת בפיזיקה הוא נרחב וחשוב. משמעות פיזיקלית: הנגזרת של הנתיב ביחס לזמן היא המהירות, והתאוצה היא נגזרת המהירות ביחס לזמן. מהמשמעות הפיזית, ניתן למשוך ענפים רבים לענפי פיזיקה שונים, תוך שימור מוחלט של משמעות הנגזרת.
בעזרת הנגזרת, נמצאים הערכים הבאים:
- מהירות בקינמטיקה, שבה מחושבת הנגזרת של המרחק שעבר. אם נמצאה הנגזרת השנייה של הנתיב או הנגזרת הראשונה של המהירות, אזי נמצא תאוצת הגוף. בנוסף, ניתן למצוא את המהירות המיידית של נקודה חומרית, אך לשם כך יש צורך לדעת את התוספת ∆t ו-∆r.
- באלקטרודינמיקה:חישוב החוזק המיידי של זרם החילופין, כמו גם EMF של אינדוקציה אלקטרומגנטית. על ידי חישוב הנגזרת, אתה יכול למצוא את ההספק המרבי. הנגזרת של כמות המטען החשמלי היא עוצמת הזרם במוליך.
נגזרת בכימיה וביולוגיה
כימיה: הנגזרת משמשת לקביעת קצב התגובה הכימית. המשמעות הכימית של הנגזרת: פונקציה p=p(t), במקרה זה p היא כמות החומר הנכנס לתגובה כימית בזמן t. ∆t - תוספת זמן, ∆p - תוספת כמות החומר. הגבול של היחס בין ∆p ל-∆t, שבו ∆t שואף לאפס, נקרא קצב תגובה כימית. הערך הממוצע של תגובה כימית הוא היחס ∆p/∆t. בעת קביעת המהירות, יש צורך לדעת בדיוק את כל הפרמטרים, התנאים הדרושים, כדי לדעת את המצב המצטבר של החומר ומצע הזרימה. זהו היבט די גדול בכימיה, שנמצא בשימוש נרחב בתעשיות שונות ובפעילויות אנושיות.
ביולוגיה: המושג של נגזרת משמש לחישוב קצב ההתרבות הממוצע. משמעות ביולוגית: יש לנו פונקציה y=x(t). ∆t - תוספת זמן. לאחר מכן, בעזרת כמה טרנספורמציות, נקבל את הפונקציה y`=P(t)=x`(t) - הפעילות החיונית של אוכלוסיית הזמן t (קצב רבייה ממוצע). שימוש זה בנגזרת מאפשר לך לשמור נתונים סטטיסטיים, לעקוב אחר קצב ההעתקה וכן הלאה.
נגזרת בגיאוגרפיה וכלכלה
הנגזרת מאפשרת לגיאוגרפים להחליטמשימות כמו מציאת אוכלוסיה, חישוב ערכים בסימוגרפיה, חישוב רדיואקטיביות של אינדיקטורים גיאופיזיים גרעיניים, חישוב אינטרפולציה.
בכלכלה, חלק חשוב בחישובים הוא החשבון הדיפרנציאלי וחישוב הנגזרת. קודם כל, זה מאפשר לנו לקבוע את גבולות הערכים הכלכליים הדרושים. לדוגמה, פריון העבודה הגבוה והנמוך ביותר, עלויות, רווחים. בעיקרון, ערכים אלו מחושבים מגרפים של פונקציות, שם הם מוצאים קצוות, קובעים את המונוטוניות של הפונקציה באזור הרצוי.
מסקנה
תפקידו של חשבון דיפרנציאלי זה מעורב, כפי שצוין במאמר, במבנים מדעיים שונים. השימוש בפונקציות נגזרות הוא מרכיב חשוב בחלק המעשי של המדע והייצור. לא בכדי לימדו אותנו בתיכון ובאוניברסיטה לבנות גרפים מורכבים, לחקור ולעבוד על פונקציות. כפי שאתה יכול לראות, ללא נגזרים וחישובים דיפרנציאליים, אי אפשר יהיה לחשב אינדיקטורים וכמויות חיוניות. האנושות למדה ליצור מודלים של תהליכים שונים ולחקור אותם, לפתור בעיות מתמטיות מורכבות. אכן, מתמטיקה היא המלכה של כל המדעים, מכיוון שמדע זה עומד בבסיס כל שאר הדיסציפלינות הטבעיות והטכניות.
