כנראה, המושג של נגזרת מוכר לכל אחד מאיתנו מאז בית הספר. בדרך כלל התלמידים מתקשים להבין את הדבר החשוב הזה, ללא ספק. הוא נמצא בשימוש פעיל בתחומים שונים של חייהם של אנשים, ופיתוחים הנדסיים רבים התבססו בדיוק על חישובים מתמטיים שהתקבלו באמצעות הנגזרת. אבל לפני שנמשיך לניתוח של מה הן נגזרות של מספרים, איך לחשב אותם והיכן הם שימושיים עבורנו, בואו נצלול לתוך ההיסטוריה.
היסטוריה
מושג הנגזרת, שהוא הבסיס לניתוח מתמטי, התגלה (עדיף לומר "הומצא", כי הוא לא היה קיים בטבע ככזה) על ידי אייזק ניוטון, שכולנו מכירים. מגילוי חוק הכבידה האוניברסלית. זה היה מי שיישם לראשונה מושג זה בפיזיקה כדי לקשר בין אופי המהירות והתאוצה של גופים. ומדענים רבים עדיין משבחים את ניוטון על ההמצאה המפוארת הזו, כי למעשה הוא המציא את הבסיס של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, למעשה, הבסיס של תחום שלם של מתמטיקה שנקרא "חשבון". אם באותו זמן את פרס נובל, ניוטון היה מקבל אותו בסבירות גבוהה מספר פעמים.
לא בלי מוחות גדולים אחרים. חוץ מניוטוןגאונים מתמטיים בולטים כמו לאונרד אוילר, לואיס לגראנז' וגוטפריד לייבניץ עבדו על פיתוח הנגזרת והאינטגרל. בזכותם קיבלנו את תורת החשבון הדיפרנציאלי בצורה שבה היא קיימת עד היום. אגב, לייבניץ הוא שגילה את המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת, שהתבררה כלא יותר מאשר המשיק של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה.
מהן נגזרות של מספרים? בואו נחזור קצת על מה שעברנו בבית הספר.
מהי נגזרת?
ניתן להגדיר את המושג הזה בכמה דרכים שונות. ההסבר הפשוט ביותר הוא שהנגזרת היא קצב השינוי של הפונקציה. דמיינו גרף של פונקציה כלשהי y של x. אם הוא לא ישר, אז יש לו כמה עקומות בגרף, תקופות של עלייה וירידה. אם ניקח איזה מרווח קטן לאין שיעור של הגרף הזה, זה יהיה קטע קו ישר. אז, היחס בין הגודל של קטע קטן לאין שיעור זה לאורך קואורדינטת y לגודל לאורך קואורדינטת x יהיה הנגזרת של פונקציה זו בנקודה נתונה. אם נתייחס לפונקציה כמכלול, ולא בנקודה מסוימת, אז נקבל פונקציה נגזרת, כלומר תלות מסוימת של y ב-x.
חוץ מזה, בנוסף למשמעות הפיזיקלית של הנגזרת כקצב השינוי של פונקציה, יש גם משמעות גיאומטרית. נדבר עליו עכשיו.
חוש גיאומטרי
הנגזרות של המספרים עצמן מייצגות מספר מסוים, שללא הבנה נכונה, אינו נושאאין פואנטה. מסתבר שהנגזרת מציגה לא רק את קצב הצמיחה או הירידה של הפונקציה, אלא גם את הטנגנס של שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה נתונה. לא הגדרה מאוד ברורה. בואו ננתח את זה ביתר פירוט. נניח שיש לנו גרף של פונקציה (לעניין, ניקח עקומה). יש לו אינסוף נקודות, אבל יש אזורים שבהם רק לנקודה אחת יש מקסימום או מינימום. דרך כל נקודה כזו אפשר לצייר קו שיהיה מאונך לגרף של הפונקציה באותה נקודה. קו כזה ייקרא טנגנס. נניח שבילינו אותו עד לצומת עם ציר ה-OX. אז, הזווית המתקבלת בין המשיק לציר OX תיקבע על ידי הנגזרת. ליתר דיוק, הטנגנס של זווית זו יהיה שווה לו.
בוא נדבר קצת על מקרים מיוחדים וננתח נגזרות של מספרים.
מקרים מיוחדים
כפי שכבר אמרנו, נגזרות של מספרים הן ערכי הנגזרת בנקודה מסוימת. לדוגמה, ניקח את הפונקציה y=x2. הנגזרת x היא מספר, ובמקרה הכללי, פונקציה השווה ל-2x. אם אנחנו צריכים לחשב את הנגזרת, נניח, בנקודה x0=1, אז נקבל y'(1)=21=2. הכל מאוד פשוט. מקרה מעניין הוא הנגזרת של מספר מרוכב. לא ניכנס להסבר מפורט מהו מספר מרוכב. בוא נגיד שזה מספר שמכיל את מה שנקרא יחידה דמיונית - מספר שהריבוע שלו הוא -1. החישוב של נגזרת כזו אפשרי רק אם הדברים הבאיםתנאים:
1) חייבות להיות נגזרות חלקיות מסדר ראשון של החלקים האמיתיים והדמיוניים ביחס ל-Y ו-X.
2) מתקיימים התנאים של קאוצ'י-רימן הקשורים לשוויון של נגזרים חלקיים המתוארים בפסקה הראשונה.
מקרה מעניין נוסף, אם כי לא מסובך כמו הקודם, הוא הנגזרת של מספר שלילי. למעשה, כל מספר שלילי יכול להיות מיוצג כמספר חיובי כפול ב-1. ובכן, הנגזרת של הקבוע והפונקציה שווה לקבוע כפול הנגזרת של הפונקציה.
יהיה מעניין ללמוד על תפקידה של הנגזרת בחיי היומיום, ועל זה נדון כעת.
Application
כנראה, כל אחד מאיתנו לפחות פעם אחת בחייו תופס את עצמו חושב שסביר להניח שמתמטיקה לא תועיל לו. ולדבר כל כך מסובך כמו נגזרת, כנראה, אין יישום כלל. למעשה, מתמטיקה היא מדע יסוד, וכל פירותיו מפותחים בעיקר על ידי פיזיקה, כימיה, אסטרונומיה ואפילו כלכלה. הנגזרת הייתה תחילתו של הניתוח המתמטי, שהקנה לנו את היכולת להסיק מגרפים של פונקציות, ולמדנו לפרש את חוקי הטבע ולהפוך אותם לטובתנו בזכותו.
מסקנה
כמובן, ייתכן שלא כולם צריכים נגזרת בחיים האמיתיים. אבל המתמטיקה מפתחת היגיון, שבהחלט יהיה צורך בכך. לא בכדי נקראת המתמטיקה מלכת המדעים: היא מהווה בסיס להבנת תחומי ידע אחרים.
