מטריצות וקובעות התגלו במאות השמונה-עשרה והתשע-עשרה. בתחילה, התפתחותם עסקה בטרנספורמציה של עצמים גיאומטריים ופתרון מערכות משוואות ליניאריות. מבחינה היסטורית, הדגש המוקדם היה על הקובע. בשיטות מודרניות לעיבוד אלגברה לינארית, מטריצות נחשבות תחילה. כדאי להרהר בשאלה זו זמן מה.
תשובות מתחום הידע הזה
מטריצות מספקות דרך שימושית תיאורטית ומעשית לפתור בעיות רבות, כגון:
- מערכות של משוואות לינאריות;
- שיווי משקל של מוצקים (בפיסיקה);
- תיאוריית הגרפים;
- המודל הכלכלי של לאונטיף;
- forestry;
- גרפיקה ממוחשבת וטומוגרפיה;
- genetics;
- cryptography;
- רשתות חשמליות;
- fractal.
למעשה, לאלגברה מטריצה ל"דומים" יש הגדרה פשוטה. הוא מתבטא כך: זהו תחום ידע מדעי שבוהערכים המדוברים נלמדים, מנותחים ונחקרים במלואם. בחלק זה של האלגברה, נלמדות פעולות שונות על המטריצות הנלמדות.
איך לעבוד עם מטריצות
ערכים אלו נחשבים שווים אם יש להם אותם מימדים וכל רכיב של אחד שווה לרכיב המתאים של השני. אפשר להכפיל מטריצה בכל קבוע. נתון זה נקרא כפל סקלרי. דוגמה: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
ניתן להוסיף ולהחסיר מטריצות באותו גודל על ידי תשומות, וניתן להכפיל ערכים של גדלים תואמים. דוגמה: הוסף שניים A ו-B: A=[21−10]B=[1423]. זה אפשרי מכיוון ש-A ו-B הן שתיהן מטריצות עם שתי שורות ומספר זהה של עמודות. יש צורך להוסיף כל אלמנט ב-A לרכיב המקביל ב-B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. מטריצות מוגרעות באותו אופן באלגברה.
כפל מטריצה עובד קצת אחרת. יתרה מכך, יכולים להיות מקרים ואפשרויות רבות, כמו גם פתרונות. אם נכפיל את המטריצה Apq ו- Bmn, אז המכפלה Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. הערך בשורה gth ובעמודה hth של AB הוא סכום המכפלה של הערכים התואמים ב-g A ו-h B. ניתן להכפיל שתי מטריצות רק אם מספר העמודות בראשונה והשורות בשנייה שווים. דוגמה: קיים את התנאי עבור נחשבים A ו-B: A=[1−130]B=[2−11214]. זה אפשרי כי המטריצה הראשונה מכילה 2 עמודות והשנייה מכילה 2 שורות. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
מידע בסיסי על מטריצות
הערכים המדוברים מארגנים מידע כמו משתנים וקבועים ומאחסנים אותם בשורות ובעמודות, הנקראים בדרך כלל C. כל מיקום במטריצה נקרא אלמנט. דוגמה: C=[1234]. מורכב משתי שורות ושתי עמודות. אלמנט 4 נמצא בשורה 2 ובעמודה 2. בדרך כלל ניתן לתת שם למטריצה על פי הממדים שלה, לזו ששמה Cmk יש m שורות ו- k עמודות.
מטריצות מורחבות
שיקולים הם דברים שימושיים להפליא שעולים בתחומי יישומים רבים ושונים. מטריצות התבססו במקור על מערכות של משוואות ליניאריות. בהתחשב במבנה האי-שוויון הבא, יש לקחת בחשבון את המטריצה המשלימה הבאה:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
רשום מקדמים וערכי תשובות, כולל כל סימני המינוס. אם האלמנט עם מספר שלילי, אז הוא יהיה שווה ל- "1". כלומר, בהינתן מערכת של משוואות (לינאריות), אפשר לשייך אליה מטריצה (רשת של מספרים בתוך סוגריים). הוא זה שמכיל רק את המקדמים של המערכת הליניארית. זה נקרא "מטריקס מורחבת". הרשת המכילה את המקדמים מהצד השמאלי של כל משוואה "רופדה" בתשובות מהצד הימני של כל משוואה.
רשומות, כלומרערכי B של המטריצה תואמים לערכי x-, y- ו-z במערכת המקורית. אם זה מסודר כמו שצריך, אז קודם כל בדוק את זה. לפעמים אתה צריך לסדר מחדש את המונחים או להוסיף אפסים כמצייני מקום במטריצה הנלמדת או נלמדת.
בהינתן מערכת המשוואות הבאה, נוכל לכתוב מיד את המטריצה המוגדלת הקשורה:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
ראשית, הקפד לסדר מחדש את המערכת כ:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
אז אפשר לכתוב את המטריצה המשויכת בתור: [11000113-1012]. כשיוצרים אחד מורחב, כדאי להשתמש באפס עבור כל רשומה שבה הנקודה המקבילה במערכת המשוואות הליניאריות ריקה.
Matrix Algebra: Properties of Operations
אם יש צורך ליצור אלמנטים רק מערכי מקדם, אז הערך הנחשב ייראה כך: [110011-101]. זה נקרא "מטריצת המקדם".
בהתחשב באלגברה המטריצתית המורחבת הבאה, יש צורך לשפר אותה ולהוסיף את המערכת הליניארית הקשורה. עם זאת, חשוב לזכור שהם דורשים שהמשתנים יהיו מסודרים ומסודרים. ובדרך כלל כשיש שלושה משתנים, השתמש ב-x, y ו-z בסדר הזה. לכן, המערכת הליניארית המשויכת צריכה להיות:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
גודל מטריקס
לפריטים המדוברים מתייחסים לעתים קרובות לפי הביצועים שלהם. גודלה של מטריצה באלגברה ניתן כמדידות, שכן החדר יכול להיקרא אחרת. מדדים מדודות של ערכים הם שורות ועמודות, לא רוחב ואורך. לדוגמה, מטריצה A:
[1234]
[2345]
[3456].
מכיוון ש-A כולל שלוש שורות וארבע עמודות, הגודל של A הוא 3 × 4.
→
↓
הקווים הולכים הצידה. העמודים עולים ויורדים. "שורה" ו"עמודה" הם מפרטים ואינם ניתנים להחלפה. גדלי מטריצה מצוינים תמיד עם מספר השורות ולאחר מכן מספר העמודות. בעקבות כנס זה, ה-B הבא:
[123]
[234] הוא 2 × 3. אם למטריצה יש אותו מספר שורות כמו עמודות, היא נקראת "ריבוע". לדוגמה, ערכי מקדם מלמעלה:
[110]
[011]
[-101] הוא מטריצה מרובעת בגודל 3×3.
תווי ועיצוב מטריקס
הערת עיצוב: לדוגמה, כאשר אתה צריך לכתוב מטריצה, חשוב להשתמש בסוגריים בסוגריים . פסי ערך מוחלט || אינם משמשים כי יש להם כיוון שונה בהקשר זה. לעולם לא נעשה שימוש בסוגריים או בסוגריים מסולסלים {}. או סמל קיבוץ אחר, או אף אחד בכלל, מכיוון שלמצגות הללו אין שום משמעות. באלגברה, מטריצה נמצאת תמיד בתוך סוגריים מרובעים. יש להשתמש רק בסימון נכון, אחרת תגובות עלולות להיחשב משובשות.
כפי שהוזכר קודם לכן, הערכים הכלולים במטריצה נקראים רשומות. מכל סיבה שהיא, הרכיבים המדוברים נכתבים בדרך כללאותיות גדולות, כגון A או B, וערכים מצוינים באמצעות האותיות הקטנות המתאימות, אך עם כתוביות מנוי. במטריצה A, הערכים נקראים בדרך כלל "ai, j", כאשר i היא השורה של A ו-j היא העמודה של A. לדוגמה, a3, 2=8. הערך עבור a1, 3 הוא 3.
עבור מטריצות קטנות יותר, כאלו עם פחות מעשר שורות ועמודות, לפעמים מושמט פסיק התתי. לדוגמה, "a1, 3=3" יכול להיכתב כ-"a13=3". ברור שזה לא יעבוד עבור מטריצות גדולות שכן a213 יהיה מעורפל.
סוגי מטריקס
לפעמים מסווגים לפי תצורות הרשומות שלהם. לדוגמה, מטריצה כזו שכל הערכים בה אפס מתחת ל"אלכסון" האלכסוני העליון-שמאלי-תחתון-ימני נקראת משולש עליון. בין היתר, עשויים להיות סוגים וסוגים אחרים, אבל הם לא מאוד שימושיים. בדרך כלל, נתפס בעיקר כמשולש עליון. ערכים עם מעריכים שאינם אפס רק בצורה אופקית נקראים ערכים אלכסוניים. לסוגים דומים יש ערכים שאינם אפס שבהם כולם הם 1, תשובות כאלה נקראות זהות (מסיבות שיתבררו כאשר נלמד ויבינו כיצד להכפיל את הערכים המדוברים). יש הרבה מדדי מחקר דומים. הזהות 3 × 3 מסומנת על ידי I3. באופן דומה, הזהות 4 × 4 היא I4.
מטריקס אלגברה ורווחים ליניאריים
שים לב שמטריצות משולשות הן מרובעות. אבל האלכסונים משולשים. לאור זאת, הם כןכיכר. וזהויות נחשבות לאלכסונים, ולכן, משולשות ומרובעות. כאשר נדרש לתאר מטריצה, אדם בדרך כלל מציין את הסיווג הספציפי ביותר של עצמו, מכיוון שזה מרמז על כל האחרים. סווגו את אפשרויות המחקר הבאות:כ-3 × 4. במקרה זה, הן אינן מרובעות. לכן, הערכים לא יכולים להיות שום דבר אחר. הסיווג הבא:אפשרי בתור 3 × 3. אבל זה נחשב ריבוע, ואין בו שום דבר מיוחד. סיווג הנתונים הבאים:כמשולש עליון בגודל 3 × 3, אך הוא אינו אלכסוני. נכון, בערכים הנבדקים עשויים להיות אפסים נוספים על או מעל המרחב הממוקם והמצוין. הסיווג הנבדק הוא נוסף: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], כאשר הוא מיוצג כאלכסון, ויתרה מכך, הערכים כולם 1. אז זוהי זהות של 3 × 3, I3.
מכיוון שמטריצות אנלוגיות הן בהגדרה מרובעות, עליך להשתמש רק באינדקס בודד כדי למצוא את הממדים שלהן. כדי ששתי מטריצות יהיו שוות, עליהן להיות בעל אותו פרמטר ולהיות אותן ערכים באותם מקומות. לדוגמה, נניח שיש שני אלמנטים בבחינה: A=[1 3 0] [-2 0 0] ו-B=[1 3] [-2 0]. ערכים אלו אינם יכולים להיות זהים מכיוון שהם שונים בגודלם.
גם אם A ו-B הם: A=[3 6] [2 5] [1 4] ו-B=[1 2 3] [4 5 6] - הם עדיין לא זהים אותו דבר. ל-A ו-B לכל אחד יששישה ערכים ויש להם גם אותם מספרים, אבל זה לא מספיק למטריצות. A הוא 3×2. ו-B הוא מטריצה של 2×3. A עבור 3×2 אינו 2×3. זה לא משנה אם ל-A ו-B יש אותה כמות נתונים או אפילו אותם מספרים כמו הרשומות. אם A ו-B אינם באותו גודל וצורה, אך יש להם ערכים זהים במקומות דומים, הם אינם שווים.
מבצעים דומים באזור הנבדק
ניתן להפוך את התכונה הזו של שוויון מטריצה למשימות למחקר עצמאי. לדוגמה, ניתנות שתי מטריצות, ומצוין שהן שוות. במקרה זה, תצטרך להשתמש בשוויון זה כדי לחקור ולקבל תשובות עבור ערכי המשתנים.
ניתן לגוון דוגמאות ופתרונות של מטריצות באלגברה, במיוחד כשמדובר בשוויון. בהתחשב בכך שהמטריצות הבאות נחשבות, יש צורך למצוא את ערכי x ו-y. כדי ש-A ו-B יהיו שווים, הם חייבים להיות באותו גודל וצורה. למעשה, הם כאלה, כי כל אחד מהם הוא 2 × 2 מטריצות. וצריכים להיות להם אותם ערכים באותם מקומות. ואז a1, 1 חייב להיות שווה b1, 1, a1, 2 חייב להיות שווה b1, 2, וכן הלאה. אבל, a1, 1=1, כמובן, אינו שווה ל-b1, 1=x. כדי ש-A יהיה זהה ל-B, הערך חייב להיות a1, 1=b1, 1, כך שהוא יכול להיות 1=x. באופן דומה, המדדים a2, 2=b2, 2, כך 4=y. אז הפתרון הוא: x=1, y=4. בהינתן שהדברים הבאיםמטריצות שוות, אתה צריך למצוא את הערכים של x, y ו-z. כדי לקבל A=B, המקדמים חייבים להיות שווים לכל הערכים. כלומר, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 וכן הלאה. בפרט, חייב:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
כפי שניתן לראות מהמטריצות שנבחרו: עם 1, 1-, 2, 2- ו-3, 1-אלמנטים. בפתרון שלושת המשוואות הללו, נקבל את התשובה: x=4, y=-6 ו-z=9. פעולות אלגברה ומטריצה מטריצה שונות ממה שכולם רגילים אליו, אך לא ניתן לשחזר אותן.
מידע נוסף באזור זה
אלגברה מטריצה לינארית היא חקר קבוצות דומות של משוואות ותכונות הטרנספורמציה שלהן. תחום ידע זה מאפשר לך לנתח סיבובים במרחב, להעריך את הריבועים הקטנים ביותר, לפתור משוואות דיפרנציאליות קשורות, לקבוע מעגל העובר דרך שלוש נקודות נתונות ולפתור בעיות רבות אחרות במתמטיקה, פיזיקה וטכנולוגיה. האלגברה הליניארית של מטריצה היא לא באמת המובן הטכני של המילה המשמשת, כלומר מרחב וקטור v מעל שדה f וכו'.
מטריקס ודטרמיננט הם כלי אלגברה לינארית שימושיים ביותר. אחת המשימות המרכזיות היא פתרון משוואת המטריצה Ax=b, עבור x. למרות שניתן לפתור זאת באופן תיאורטי באמצעות היפוך x=A-1 ב. שיטות אחרות, כמו חיסול גאוסי, אמינות יותר מבחינה מספרית.
בנוסף לשימוש לתיאור חקר קבוצות משוואות ליניאריות,המונח לעיל משמש גם לתיאור סוג מסוים של אלגברה. בפרט, ל-L מעל שדה F יש מבנה של טבעת עם כל האקסיומות הרגילות לחיבור וכפל פנימיים, יחד עם חוקים חלוקתיים. לכן, זה נותן לו יותר מבנה מאשר טבעת. אלגברה מטריצה לינארית מאפשרת גם פעולה חיצונית של כפל בסקלרים שהם אלמנטים של השדה הבסיסי F. לדוגמה, קבוצת כל הטרנספורמציות הנחשבות ממרחב וקטור V לעצמו על פני שדה F נוצרת על F. דוגמה נוספת ללינארית אלגברה היא קבוצת כל המטריצות הריבועיות הממשיות על פני שדה R מספרים ממשיים.
