לוגריתמים: דוגמאות ופתרונות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

כפי שאתה יודע, כאשר מכפילים ביטויים עם חזקה, המעריכים שלהם תמיד מסתכמים (a^ba^c=a^{b+ c). החוק המתמטי הזה נגזר על ידי ארכימדס, ומאוחר יותר, במאה ה-8, יצר המתמטיקאי ויראסן טבלה של אינדיקטורים שלמים. הם היו אלה ששימשו לגילוי נוסף של לוגריתמים. דוגמאות לשימוש בפונקציה זו ניתן למצוא כמעט בכל מקום בו נדרש לפשט כפל מסורבל לחיבור פשוט. אם תבזבז 10 דקות בקריאת מאמר זה, נסביר לך מהם לוגריתמים וכיצד לעבוד איתם. שפה פשוטה ונגישה.}

הגדרה במתמטיקה

הלוגריתם הוא ביטוי של הצורה הבאה: log_ab=c c" שלתוכו אתה צריך להעלות את הבסיס "a" כדי לקבל סוף סוף את הערך " ב". בוא ננתח את הלוגריתם באמצעות דוגמאות, נניח שיש ביטוי log_{28. איך למצוא את התשובה? זה מאוד פשוט, צריך למצוא תואר כזה שמ-2 ועד לתואר הנדרש מקבלים 8. אחרי שעשינו כמה חישובים בראש, אנחנו מקבלים את המספר 3! וזה נכון, כי2 מורם בחזקת 3 נותן את התשובה 8.}

זנים של לוגריתמים

עבור תלמידים וסטודנטים רבים, הנושא הזה נראה מסובך ובלתי מובן, אבל למעשה, לוגריתמים הם לא כל כך מפחידים, העיקר להבין את המשמעות הכללית שלהם ולזכור את המאפיינים שלהם וכמה כללים. ישנם שלושה סוגים נפרדים של ביטויים לוגריתמיים:

1. לוגריתם טבעי ln a, כאשר הבסיס הוא מספר אוילר (e=2, 7).
2. לוגריתם עשרוני lg a, כאשר הבסיס הוא המספר 10.
3. לוגריתם של כל מספר b לבסיס a>1.

כל אחד מהם נפתר בצורה סטנדרטית, כולל פישוט, צמצום והפחתה שלאחר מכן ללוגריתם אחד באמצעות משפטים לוגריתמיים. כדי לקבל את הערכים הנכונים של לוגריתמים, יש לזכור את תכונותיהם ואת סדר הפעולות בפתרונם.

כללים וכמה הגבלות

במתמטיקה, יש כמה הגבלות-חוקים שמקובלות כאקסיומה, כלומר, הן אינן ניתנות למשא ומתן והן נכונות. למשל, אי אפשר לחלק מספרים באפס, ואי אפשר גם לקחת שורש זוגי ממספרים שליליים. ללוגריתמים יש גם כללים משלהם, שבעקבותיהם ניתן ללמוד בקלות כיצד לעבוד גם עם ביטויים לוגריתמיים ארוכים ומרווחים:

• הבסיס של "a" חייב להיות תמיד גדול מאפס, ובו בזמן לא להיות שווה ל-1, אחרת הביטוי יאבד את משמעותו, כי "1" ו-"0" בכל דרגה הם תמיד שווה לערכים שלהם;
• if a > 0, ואז ab>0,מסתבר שגם "c" חייב להיות גדול מאפס.

איך פותרים לוגריתמים?

לדוגמה, בהינתן המשימה למצוא את התשובה למשוואה 10^x=100. זה מאוד קל, אתה צריך לבחור חזק כזה, להעלות את המספר עשר, אנחנו קבל 100. זה, כמובן ובכן, כוח ריבועי! 10^2=100.

עכשיו בואו נציג את הביטוי הזה כלוגריתמי. נקבל log_{10100=2. בעת פתרון לוגריתמים, כל הפעולות מתכנסות למעשה למציאת החזקה שאליה יש להזין את בסיס הלוגריתם כדי לקבל מספר נתון.}

כדי לקבוע במדויק את הערך של תואר לא ידוע, עליך ללמוד כיצד לעבוד עם טבלת המעלות. זה נראה כך:

כפי שאתה יכול לראות, ניתן לנחש חלק מהמעריכים באופן אינטואיטיבי אם יש לך חשיבה טכנית וידע בטבלת הכפל. עם זאת, ערכים גדולים יותר ידרשו טבלת כוח. זה יכול לשמש גם למי שלא מבין כלום בכלל בנושאים מתמטיים מורכבים. העמודה השמאלית מכילה מספרים (בסיס a), שורת המספרים העליונה היא ערך החזקה c, שאליו מועלה המספר a. בצומת, התאים מגדירים את ערכי המספרים שהם התשובה (ac=b). ניקח, למשל, את התא הראשון עם המספר 10 ונריבוע אותו, נקבל את הערך 100, שמצוין במפגש בין שני התאים שלנו. הכל כל כך פשוט וקל שאפילו ההומניסט האמיתי ביותר יבין!

משוואות ואי-שוויון

מסתבר שמתיבתנאים מסוימים, המעריך הוא הלוגריתם. לכן, כל ביטוי מספרי מתמטי יכול להיכתב כמשוואה לוגריתמית. לדוגמה, ניתן לכתוב את 3⁴=81 כלוגריתם של 81 לבסיס 3, שהוא ארבע (log₃81=4). עבור מעלות שליליות, הכללים זהים: 2^-5=1/32 שנכתב כלוגריתם, נקבל log_{2 (1/32)=-5. אחד הקטעים המרתקים ביותר במתמטיקה הוא נושא ה"לוגריתמים". נשקול דוגמאות ופתרונות של משוואות מעט נמוך יותר, מיד לאחר לימוד תכונותיהן. לעת עתה, בואו נסתכל כיצד נראים אי-שוויון וכיצד להבדיל אותם ממשוואות.}

ניתן הביטוי הבא: log_{2(x-1) > 3 - זהו אי שוויון לוגריתמי, מכיוון שהערך הלא ידוע "x" נמצא תחת הסימן של לוֹגָרִיתְם. הביטוי גם משווה שני ערכים: לוגריתם הבסיס שתיים של המספר הרצוי גדול מהמספר שלוש.}

ההבדל החשוב ביותר בין משוואות לוגריתמיות לאי-שוויון הוא שמשוואות עם לוגריתמים (דוגמה - לוגריתם₂x=√9) _{מרמזים בתשובה ערך מספרי ספציפי אחד או יותר, בעוד שבפתרון אי שוויון, נקבעים גם טווח הערכים המקובלים וגם נקודות השבירה של פונקציה זו. כתוצאה מכך, התשובה אינה קבוצה פשוטה של מספרים בודדים, כמו בתשובה של המשוואה, אלא סדרה או קבוצה רציפה של מספרים.}

משפטים בסיסיים על לוגריתמים

כאשר פותרים משימות פרימיטיביות כדי למצוא את ערכי הלוגריתם, ייתכן שאינך יודע את המאפיינים שלו. עם זאת, כאשר מדובר במשוואות לוגריתמיות או באי-שוויון, קודם כל, יש צורך להבין בבירור וליישם בפועל את כל התכונות הבסיסיות של הלוגריתמים. נכיר את הדוגמאות למשוואות בהמשך, ראשית ננתח כל נכס ביתר פירוט.

1. הזהות הבסיסית נראית כך: alogaB=B. זה חל רק אם a גדול מ-0, אינו שווה לאחד, ו-B גדול מאפס.
2. הלוגריתם של המוצר יכול להיות מיוצג בנוסחה הבאה: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{במקרה זה, התנאי המחייב הוא: d, s}1 _ו-s2 _{> 0; a≠1. אתה יכול לתת הוכחה לנוסחת הלוגריתמים הזו, עם דוגמאות ופתרון. תן יומן}a_s1 _=f1 _ותירשםa_s 2_=f2_{, ואז a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{אנחנו מבינים ש}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(מאפייני תואר), ועוד בהגדרה: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{אשר היה אמור להיות מוכח.}
3. הלוגריתם של המנה נראה כך: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. המשפט בצורת נוסחה מקבל את הצורה הבאה: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

נוסחה זו נקראת "התכונה של דרגת הלוגריתם". זה דומה למאפיינים של תארים רגילים, וזה לא מפתיע, כי כל המתמטיקה נשענת על הנחות רגילות. בואו נסתכל על ההוכחה.

תן יומן_ab=t, נקבל ^t=b. אם תגביה את שני הצדדים לעוצמה m: a^tn=b^;

אבל בגלל ש^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, ומכאן יומן}aq _bn=(nt)/t, ולאחר מכן יומן^a_q b_n=n/q log^ab. המשפט הוכח.

דוגמאות לבעיות ואי-שוויון

הסוגים הנפוצים ביותר של בעיות לוגריתם הם דוגמאות של משוואות ואי-שוויון. הם נמצאים כמעט בכל ספרי הבעיות, ונכללים גם בחלק החובה של בחינות במתמטיקה. כדי להיכנס לאוניברסיטה או לעבור מבחני כניסה במתמטיקה, צריך לדעת איך לפתור בעיות כאלה בצורה נכונה.

למרבה הצער, אין תוכנית או סכמה אחת לפתרון וקביעת הערך הלא ידוע של הלוגריתם, אך ניתן להחיל כללים מסוימים על כל אי שוויון מתמטי או משוואה לוגריתמית. קודם כל, כדאי לברר האם ניתן לפשט את הביטוי או לצמצם אותו לצורה כללית. אתה יכול לפשט ביטויים לוגריתמיים ארוכים אם אתה משתמש במאפיינים שלהם בצורה נכונה. בואו להכיר אותם בקרוב.

בעת פתרון משוואות לוגריתמיות,יש צורך לקבוע איזה סוג של לוגריתם יש לפנינו: דוגמה לביטוי עשויה להכיל לוגריתם טבעי או עשרוני.

הנה דוגמאות ללוגריתמים עשרוניים: ln100, ln1026. הפתרון שלהם מסתכם בעובדה שאתה צריך לקבוע את המידה שבה הבסיס 10 יהיה שווה ל-100 ו-1026, בהתאמה. עבור פתרונות של לוגריתמים טבעיים, יש ליישם זהויות לוגריתמיות או תכונותיהן. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון בעיות לוגריתמיות מסוגים שונים.

כיצד להשתמש בנוסחאות לוגריתם: עם דוגמאות ופתרונות

אז, בואו נסתכל על דוגמאות לשימוש במשפטים הראשיים לגבי לוגריתמים.

1. ניתן להשתמש בתכונה של הלוגריתם של המוצר במשימות שבהן יש צורך לפרק ערך גדול של המספר b לגורמים פשוטים יותר. לדוגמה, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. התשובה היא 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - כפי שאתה יכול לראות, על ידי יישום התכונה הרביעית של דרגת הלוגריתם, הצלחנו לפתור במבט ראשון ביטוי מורכב ובלתי ניתן לפתרון. כל מה שאתה צריך לעשות הוא לחלק את הבסיס ואז להוציא את הכוח מהסימן של הלוגריתם.}

משימות מהבחינה

לוגריתמים נמצאים לעתים קרובות במבחני כניסה, במיוחד הרבה בעיות לוגריתמיות בבחינת המדינה המאוחדת (בחינה ממלכתית לכל בוגרי בית הספר). בדרך כלל משימות אלו נוכחות לא רק בחלק א' (הכי הרבהמבחן קל חלק של הבחינה), אבל גם בחלק ג' (המשימות הקשות והנפחיות ביותר). הבחינה דורשת ידע מדויק ומושלם בנושא "לוגריתמים טבעיים".

דוגמאות ופתרונות בעיות לקוחים מהגרסאות הרשמיות של הבחינה. בוא נראה איך משימות כאלה נפתרות.

נתון יומן₂(2x-1)=4. פתרון:

שכתבו מחדש את הביטוי, ופשטו אותו קצת_2(2x-1)=22^{, לפי הגדרת הלוגריתם נקבל ש-2x-1=2}4^{, ומכאן 2x=17; x=8, 5.}

בעקבות מספר קווים מנחים, שבעקבותיהם תוכל לפתור בקלות את כל המשוואות המכילות ביטויים שנמצאים תחת סימן הלוגריתם.

• כדאי לצמצם את כל הלוגריתמים לאותו בסיס כדי שהפתרון לא יהיה מסורבל ומבלבל.
• כל הביטויים מתחת לסימן הלוגריתם מסומנים כחיוביים, כך שכאשר מכפילים את המעריך של הביטוי שנמצא מתחת לסימן הלוגריתם וכבסיס שלו, הביטוי שנותר מתחת ללוגריתם חייב להיות חיובי.