סדרת מקלאורין והרחבה של כמה פונקציות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

סטודנטים למתמטיקה גבוהה יותר צריכים להיות מודעים לכך שהסכום של כמה סדרות חזקות השייכות למרווח ההתכנסות של הסדרה הנתונה מתגלה כפונקציה רציפה ובלתי מוגבלת של פעמים מובחנת. נשאלת השאלה: האם ניתן לקבוע שפונקציה שרירותית נתונה f(x) היא סכום של סדרת חזקה כלשהי? כלומר, באילו תנאים ניתן לייצג את הפונקציה f(x) על ידי סדרת חזקה? חשיבותה של שאלה זו טמונה בכך שניתן להחליף בקירוב את הפונקציה f(x) בסכום האיברים הראשונים של סדרת החזקה, כלומר בפולינום. החלפה כזו של פונקציה בביטוי פשוט למדי - פולינום - נוחה גם כאשר פותרים כמה בעיות של ניתוח מתמטי, כלומר: בעת פתרון אינטגרלים, בעת חישוב משוואות דיפרנציאליות וכו'.

הוכח שעבור פונקציה כלשהי f(х) שבה ניתן לחשב נגזרות עד הסדר (n+1), כולל האחרון, בשכונה (α _{- R; x}0 _{+ R) של נקודה כלשהי x=α הנוסחה תקפה:}

נוסחה זו נקראת על שם המדען המפורסם ברוק טיילור. הסדרה שמתקבלת מהקודמת נקראת סדרת Maclaurin:

הכלל שמאפשר להרחיב בסדרת מקלאורין:

1. קבע נגזרות של הסדר הראשון, השני, השלישי…
2. חשב למה השוות הנגזרות ב-x=0.
3. תעד את סדרת Maclaurin עבור פונקציה זו, ולאחר מכן קבע את מרווח ההתכנסות שלה.
4. קבע את המרווח (-R;R) שבו שארית נוסחת המקלאורין

R (x) -> 0 עבור n -> אינסוף. אם קיים כזה, הפונקציה f(x) בו חייבת לחפוף לסכום של סדרת מקלאורין.

עכשיו שקול את סדרת Maclaurin עבור פונקציות בודדות.

1. אז, הראשון יהיה f(x)=e^x. כמובן, לפי תכונותיה, לפונקציה כזו יש נגזרות בסדרים שונים, ו-f^(k)(x)=e^x, כאשר k שווה לכל מספרים טבעיים. בוא נחליף את x=0. נקבל f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{ייראה כך:}

2. סדרת מקלאורין עבור הפונקציה f(x)=sin x. יש להבהיר מיד שלפונקציה עבור כל הלא ידועים יהיו נגזרות, מלבד f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), כאשר k שווה לכל מספר טבעי. כלומר, לאחר ביצוע חישובים פשוטים, נוכל להגיע למסקנה שהסדרה עבור f(x)=sin x תיראה כך:}

3. כעת ננסה לשקול את הפונקציה f(x)=cos x. היא לכל הלא נודעיש נגזרות בסדר שרירותי, ו-|f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… שוב, לאחר ביצוע כמה חישובים, נקבל שהסדרה עבור f(x)=cos x תיראה כך:

לכן, רשמנו את הפונקציות החשובות ביותר שניתן להרחיב בסדרת Maclaurin, אך הן מתווספות על ידי סדרת טיילור עבור פונקציות מסוימות. כעת נפרט אותם. ראוי גם לציין שסדרות טיילור ומקלורין הן חלק חשוב מהתרגול של פתרון סדרות במתמטיקה גבוהה יותר. אז, סדרת טיילור.

1. הראשונה תהיה סדרה עבור f-ii f(x)=ln(1+x). כמו בדוגמאות הקודמות, בהינתן לנו f (x)=ln (1 + x), נוכל להוסיף סדרה באמצעות הצורה הכללית של סדרת מקלאורין. עם זאת, עבור פונקציה זו, ניתן להשיג את סדרת Maclaurin בהרבה יותר פשוט. לאחר שילוב של סדרה גיאומטרית מסוימת, נקבל סדרה עבור f(x)=ln(1+x) של המדגם הזה:

2. והשנייה, שתהיה סופית במאמר שלנו, תהיה סדרה עבור f (x) u003d arctg x. עבור x השייך למרווח [-1;1], ההרחבה תקפה:

זהו. מאמר זה בחן את סדרות טיילור ומקלורין הנפוצות ביותר במתמטיקה גבוהה יותר, במיוחד באוניברסיטאות כלכליות וטכניות.