הפרדוקס של תיאוריית הבחירה הציבורית תואר לראשונה על ידי המרקיז קונדורסט ב-1785, שהוכלל בהצלחה בשנות ה-50 של המאה הקודמת על ידי הכלכלן האמריקני K. Arrow. משפט החץ עונה על שאלה פשוטה מאוד בתורת ההחלטות הקולקטיביות. נניח שישנן אפשרויות בחירה רבות בפוליטיקה, בפרויקטים ציבוריים או בחלוקת הכנסה, ויש אנשים שהעדפותיהם קובעות את הבחירות הללו.
השאלה היא אילו נהלים קיימים לקביעה איכותית של בחירה. ואיך ללמוד על העדפות, על סדר קולקטיבי או חברתי של חלופות, מהטוב לרע. התשובה של Arrow לשאלה זו הפתיעה רבים.
משפט החץ אומר שאין נהלים כאלה בכלל - בכל מקרה, הם לא תואמים העדפות מסוימות והגיוניות למדי של אנשים.המסגרת הטכנית של חץ, שבה הוא נתן משמעות ברורה לבעיית ההתקשרות החברתית, ותגובתו המחמירה נמצאים כיום בשימוש נרחב ללימוד בעיות בכלכלה חברתית. המשפט עצמו היווה את הבסיס לתיאוריית הבחירה הציבורית המודרנית.
תאוריית הבחירה הציבורית
משפט החץ מראה שאם לבוחרים יש לפחות שלוש חלופות, אז אין מערכת בחירות שיכולה להפוך את בחירת הפרטים לדעת קהל.
ההצהרה המזעזעת הגיעה מהכלכלן וחתן פרס נובל קנת' ג'וזף ארו, שהדגים את הפרדוקס הזה בעבודת הדוקטורט שלו ועשה אותו פופולרי בספרו מ-1951 Social Choice and Individual Values. כותרת המאמר המקורי היא "קשיים בתפיסת הביטוח הלאומי".
משפט החץ קובע שאי אפשר לעצב מערכת בחירות עם סדר שתמיד יעמוד בקריטריונים הוגנים:
- כאשר בוחר בוחר בחלופה X על פני Y, אזי קהילת המצביעים תעדיף X על פני Y. אם הבחירות של כל אחד מהבוחרים X ו-Y יישארו ללא שינוי, אזי בחירת החברה X ו-Y תהיה זהה גם אם הבוחרים בוחרים בזוגות אחרים של X ו-Z, Y ו-Z, או Z ו-W.
- אין "דיקטטור מבחירה" כי בוחר אחד לא יכול להשפיע על בחירת קבוצה.
- מערכות הבחירות הקיימות אינן מכסות את הדרישות הנדרשות מכיוון שהן מספקות יותר מידע מהדרגה הסדירה.
מערכות ניהול חברתיות של המדינה
למרות שהכלכלן האמריקאי קנת ארו קיבל את פרס נובל לכלכלה, העבודה הייתה שימושית יותר לפיתוח מדעי החברה, שכן "משפט הבלתי אפשרי" של חץ סימן את תחילתו של כיוון חדש לחלוטין בכלכלה - בחירה חברתית. תעשייה זו מנסה לנתח באופן מתמטי את קבלת החלטות משותפות, בפרט בתחום מערכות הניהול החברתי הציבורי.
בחירה היא דמוקרטיה בפעולה. אנשים הולכים לקלפי ומביעים את העדפותיהם, ובסופו של דבר, העדפות של אנשים רבים חייבות להתאחד כדי לקבל החלטה משותפת. זו הסיבה שהבחירה בשיטת ההצבעה חשובה מאוד. אבל האם באמת יש הצבעה מושלמת? לפי תוצאות התיאוריה של חץ, שהתקבלה ב-1950, התשובה היא לא. אם "אידיאלי" פירושו שיטת הצבעה מועדפת שעומדת בקריטריונים שהוגדרו בשיטות הצבעה סבירות.
שיטת ההצבעה המועדפת היא דירוג, שבו הבוחרים מדרגים את כל המועמדים לפי העדפותיהם, ועל סמך דירוגים אלו, התוצאה היא: רשימה נוספת של כל המועמדים שתוגש לפי רצון העם. על פי משפט הבלתי אפשרי של חץ, ניתן לציין שיטת הצבעה סבירה:
- ללא דיקטטורים (ND) - התוצאה לא תמיד חייבת להתאים להערכה של אדם מסוים.
- יעילות פארטו (PE) - אם כל בוחר מעדיף מועמד א' על מועמד ב', התוצאה צריכה לצייןמועמד א' על פני מועמד ב'.
- Independence of Incompatible Alternatives (IIA) הוא הציון היחסי של מועמדים A, B ואינו אמור להשתנות אם הבוחרים משנים את הציון של מועמדים אחרים, אך לא ישנו את הציונים היחסיים שלהם של A ו-B.
לפי משפט החץ, מסתבר שבמקרה של בחירות עם שלושה קריטריונים או יותר, אין פונקציות בחירה חברתית שיתאימו במקביל ל-ND, PE ו-IIA.
מערכת בחירה רציונלית
הצורך בצבירה של העדפות מתבטא בתחומים רבים בחיי האדם:
- כלכלת רווחה משתמשת בשיטות מיקרו-כלכליות למדידת רווחה ברמה הכלכלית המצרפית. מתודולוגיה טיפוסית מתחילה בהסקת או הסקת פונקציית רווחה, אשר לאחר מכן ניתן להשתמש בה כדי לדרג הקצאות כלכליות תקינות של משאבים במונחים של רווחה. במקרה זה, מדינות מנסות למצוא תוצאה בת קיימא כלכלית ובת קיימא.
- בתורת ההחלטות, כאשר אדם חייב לעשות בחירה רציונלית על סמך מספר קריטריונים.
- במערכות בחירות, שהן מנגנונים למציאת פתרון יחיד מתוך העדפותיהם של בוחרים רבים.
בתנאים של משפט החץ, מובחן סדר ההעדפות עבור קבוצה נתונה של פרמטרים (תוצאות). כל יחידה בחברה, או כל קריטריון החלטה, מקצה סדר העדפה מסוים ביחס למערכת של תוצאות. החברה מחפשת מערכתהצבעה מבוססת דירוג, המכונה פונקציית הרווחה.
כלל צבירת העדפות זה הופך פרופיל העדפות לסדר ציבורי גלובלי אחד. ההצהרה של חץ קובעת שאם לגוף שלטוני יש לפחות שני בוחרים ושלושה קריטריונים לבחירה, אי אפשר ליצור פונקציית רווחה שתעמוד בכל התנאים הללו בבת אחת.
עבור כל קבוצה של העדפות בוחרים אינדיבידואליות, פונקציית הרווחה חייבת לבצע דירוג בחירה ציבורית ייחודית ומקיפה:
- זה צריך להיעשות בצורה כזו שהתוצאה תהיה הערכה מלאה של העדפות הקהל.
- צריך לתת את אותו ניקוד באופן דטרמיניסטי כאשר נראה שהעדפות הבוחרים זהות.
עצמאות מחלופות לא רלוונטיות (IIA)
הבחירה בין X ל-Y קשורה אך ורק להעדפות הפרט בין X ל-Y - זוהי עצמאות בזוגות (עצמאות זוגית), לפי משפט "אי-אפשרות דמוקרטיה" של חץ. יחד עם זאת, שינוי בהערכתו של אדם לגבי חלופות לא רלוונטיות הממוקמות מחוץ לקבוצות כאלה אינו משפיע על ההערכה החברתית של תת-קבוצה זו. לדוגמה, להגשת מועמד שלישי בבחירות של שני מועמדים אין השפעה על תוצאות הבחירות אלא אם כן המועמד השלישי מנצח.
החברה מאופיינת במונוטוניות ובשילוב חיובי של ערכים חברתיים ואינדיבידואליים. אם אדם משנה את סדר העדפתו על ידי קידום אפשרות מסוימת, אז הסדרהעדפות החברה צריכות להתאים לאותה אפשרות ללא שינוי. אדם לא צריך להיות מסוגל לפגוע באופציה על ידי תמחורה גבוה יותר.
במשפט חוסר האפשרות, יעילות וצדק בחברה מובטחים באמצעות ריבונות האזרח. כל סדר העדפה חברתי אפשרי חייב להיות בר השגה עם קבוצה כלשהי של סדרי העדפה אינדיבידואליים. המשמעות היא שפונקציית הרווחה היא ניתוחית – יש לה מרחב מטרה בלתי מוגבל. גרסה מאוחרת יותר (1963) של משפט החץ החליפה את המונוטוניות והקריטריונים שאינם חופפים.
פארטו. יעילות או תמימות דעים?
אם כל אדם מעדיף אופציה מסוימת על פני אחרת, אז סדר ההעדפה החברתי צריך לעשות זאת. חיוני שתפקוד הרווחה תהיה רגישה מינימלית לפרופיל ההעדפות. גרסה מאוחרת יותר זו היא כללית יותר ובעלת תנאים מעט חלשים יותר. האקסיומות של אחידות, ללא חפיפה, יחד עם IIA, מציינות יעילות פארטו. יחד עם זאת, זה לא מרמז על חפיפה של IIA ואינו מרמז על מונוטוניות.
ל-IIA יש שלוש מטרות:
- סטנדרטי. חלופות לא רלוונטיות לא צריכות להיות חשובות.
- מעשי. שימוש במידע מינימלי.
- אסטרטגי. מתן התמריצים הנכונים לזהות באמת העדפות אישיות. למרות שהיעד האסטרטגי שונה מבחינה רעיונית מה-IIA, הם קשורים קשר הדוק.
יעילות פארטו, על שם הכלכלן ומדען המדינה האיטלקי וילפרדו פארטו (1848-1923), משמשת בכלכלה הניאו-קלאסית יחד עם התפיסה התיאורטית של תחרות מושלמת כמדד להערכת היעילות של שווקים אמיתיים. יש לציין שאף אחת מהתוצאות לא מושגת מחוץ לתיאוריה הכלכלית. באופן היפותטי, אם הייתה קיימת תחרות מושלמת והמשאבים היו מנוצלים בצורה יעילה ככל האפשר, אז לכולם תהיה רמת החיים הגבוהה ביותר, או יעילות פארטו.
בפועל, אי אפשר לנקוט בשום פעולה חברתית, כמו שינוי במדיניות כלכלית, מבלי להחמיר את מצבו של לפחות אדם אחד, ולכן הרעיון של שיפור פארטו מצא יישום רחב יותר בכלכלה. שיפור פארטו מתרחש כאשר שינוי בהפצה אינו פוגע באיש ועוזר לפחות לאדם אחד, בהתחשב בהפצה הראשונית של סחורות לקבוצת אנשים. התיאוריה מציעה ששיפורי פארטו ימשיכו להוסיף ערך לכלכלה עד שיושג שיווי משקל פארטו, כאשר לא ניתן לבצע שיפורים נוספים.
הצהרה פורמלית של המשפט
תנו A להיות קבוצת התוצאות, N מספר המצביעים או קריטריונים להחלטה. סמן את קבוצת כל הסידורים הליניאריים המלאים מ-A ל-L (A). פונקציית הביטחון הסוציאלי הקפדנית (כלל צבירת העדפות) היא פונקציה המאגדת את העדפות הבוחרים בסדר העדפה חד פעמי על ידיA.
N - טופל (R 1, …, R N) ∈ L (A) N מהעדפות הבוחרים נקרא פרופיל העדפה. בצורתו החזקה והפשוטה ביותר, משפט הבלתי אפשרי של חץ קובע כי בכל פעם שקבוצת החלופות האפשריות A כוללת יותר מ-2 אלמנטים, שלושת התנאים הבאים הופכים ללא עקביים:
- אחדות דעים, או יעילות פארטו חלשה. אם חלופה A מדרגת אך ורק מעל B עבור כל הפקודות R 1, …, R N, אז A מדרגת אך ורק מעל B ב-F (R 1, R 2, …, R N). יחד עם זאת, אחדות דעים מרמזת על היעדר הטלה.
- אי דיקטטורה. אין "אני" אינדיבידואלי שהעדפותיו הקפדניות תמיד גוברות. כלומר, אין I ∈ {1, …, N }, אשר עבור כולם (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, מדורג גבוה יותר מ-B מ-R. "I" מדורג גבוה יותר מ-B מעל F (R 1, R 2, …, R N), עבור כל A ו-B.
- עצמאות מחלופות לא רלוונטיות. עבור שני פרופילי העדפה (R 1, …, R N) ו-(S 1, …, S N) כך שלכל הפרטים I, לחלופות A ו-B יש אותו סדר ב-R i כמו ב-S i, לחלופות A ו-B יש את אותו סדר ב-F (R 1, R 2, …, R N) כמו ב-F (S 1, S2, …, S N).
פירוש המשפט
למרות שמשפט הבלתי אפשרי מוכח מתמטית, הוא מתבטא לרוב בצורה לא מתמטית עם האמירה ששום שיטת הצבעה אינה הוגנת, לכל שיטת הצבעה מדורגת יש פגמים, או ששיטת ההצבעה היחידה שאינה שגויה היא דיקטטורה. ההצהרות הללו הן פשטנותהתוצאה של חץ, שלא תמיד נחשבת לנכונה. משפט החץ קובע שמנגנון הצבעה מועדף דטרמיניסטי, כלומר כזה שבו סדר העדפה הוא המידע היחיד בהצבעה, וכל מערך קולות אפשרי מייצר תוצאה ייחודית, אינו יכול לעמוד בכל התנאים לעיל בו-זמנית.
תאורטיקנים שונים הציעו להרפות את קריטריון IIA כמוצא מהפרדוקס. התומכים בשיטות דירוג טוענים שה-IIA הוא קריטריון חזק שלא לצורך המופר ברוב מערכות הבחירות השימושיות. התומכים בעמדה זו מציינים כי אי עמידה בקריטריון הסטנדרטי של IIA משתמע באופן טריוויאלי מהאפשרות של העדפות מחזוריות. אם הבוחרים יצביעו כך:
- 1 הצבעה עבור A> B> C;
- 1 הצבעה עבור B> C> A;
- 1 הצבעה עבור C> A> B.
אז הרוב מכפיל את העדפת הקבוצה היא ש-A מנצח את B, B מכה את C ו-C מכה את A, והתוצאה היא העדפה של מספריים-סלע-מספריים לכל השוואה בין זוג.
במקרה זה, כל כלל צבירה שעומד בדרישת הרוב הבסיסית לפיה המועמד עם מספר הקולות הרב ביותר חייב לזכות בבחירות ייכשל בקריטריון IIA אם העדפות חברתיות חייבות להיות טרנזיטיביות או אציקליות. כדי לראות זאת, ההנחה היא שכלל כזה עומד בתקן IIA. מאז העדפות הרובנצפו, החברה מעדיפה את A - B (שני קולות ל-A> B ואחד ל-B> A), B - C ו-C - A. כך, נוצר מעגל שסותר את ההנחה שההעדפות החברתיות הן טרנזיטיביות.
אז, המשפט של חץ אכן מראה שכל מערכת בחירות עם הכי הרבה ניצחונות היא משחק לא טריוויאלי, ויש להשתמש בתורת המשחקים כדי לחזות את התוצאות של רוב מנגנוני ההצבעה. ניתן לראות זאת כתוצאה מייאשת מכיוון שלמשחק לא אמור להיות שיווי משקל יעיל, למשל, הצבעה עשויה להוביל לאלטרנטיבה שאף אחד לא באמת רצה אבל כולם הצביעו עבורה.
בחירה חברתית במקום העדפה
בחירה קולקטיבית רציונלית של מנגנון הצבעה לפי משפט החץ אינה המטרה של קבלת החלטות חברתית. לעתים קרובות זה מספיק כדי למצוא אלטרנטיבה כלשהי. הגישה ממוקדת בחירה אלטרנטיבית בוחנת או פונקציות בחירה חברתית הממפות כל פרופיל העדפה, או כללי בחירה חברתית, פונקציות הממפות כל פרופיל העדפה לקבוצת משנה של חלופות.
באשר לפונקציות של בחירה חברתית, ידוע היטב משפט גיברד-סאטר'ווייט, הקובע שאם פונקציית בחירה חברתית שהטווח שלה מכיל לפחות שלוש חלופות היא יציבה אסטרטגית, אז היא דיקטטורית. בהתחשב בכללי הבחירה החברתית, הם מאמינים שהעדפות חברתיות עומדות מאחוריהם.
כלומר, הם רואים את הכלל כבחירהמקסימום אלמנטים - האלטרנטיבות הטובות ביותר לכל העדפה חברתית. קבוצת מרכיבי ההעדפה החברתית המקסימלית נקראת הליבה. התנאים לקיומה של חלופה בליבה נלמדו בשתי גישות. הגישה הראשונה מניחה שההעדפות הן לפחות א-מחזוריות, וזה הכרחי ומספיק כדי שההעדפות יהיו עם אלמנט מקסימלי בכל תת-קבוצה סופית.
מסיבה זו, זה קשור קשר הדוק לטרנזיטיביות מרגיעה. הגישה השנייה שומטת את ההנחה של העדפות א-ציקליות. קומבה ומיהרה אימצו גישה זו. הם הניחו את ההנחה העקבית יותר שההעדפות האישיות חשובות ביותר.
שנאת סיכון יחסית
ישנם מספר אינדיקטורים לשנאת סיכון המתבטאים בפונקציית התועלת במשפט של Arrow Pratt. שנאת סיכון מוחלטת - ככל שהעקמומיות u(c) גבוהה יותר, כך שנאת הסיכון גבוהה יותר. עם זאת, מכיוון שפונקציות השירות הצפויות אינן מוגדרות באופן ייחודי, המדד הדרוש נשאר קבוע ביחס לתמורות אלו. מדד אחד כזה הוא מדד החץ-פראט של סלידה מסיכון מוחלט (ARA), לאחר שהכלכלנים קנת' ארו וג'ון וו. פראט הגדירו את יחס שנאת הסיכון המוחלט כ
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, כאשר: u '(c) ו-u '' (c) מציינים את הנגזרת הראשונה והשנייה ביחס ל-"c" של "u (c)".
נתונים ניסויים ואמפיריים תואמים בדרך כלל ירידה בשנאת סיכון מוחלטת. מידה יחסיתArrow Pratt Aversion (ACR) או יחס שנאת סיכון יחסי מוגדר על ידי:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
כמו בשנאת סיכון מוחלטת, המונחים המשמשים בהתאמה הם שנאת סיכון יחסית קבועה (CRRA) ושנאת סיכון יחסית ירידה/גדלה (DRRA/IRRA). היתרון של כמות זו הוא שהיא עדיין מדד תקף לשנאת סיכון גם אם פונקציית השירות משתנה מנטיית הסיכון, כלומר התועלת אינה קמורה/קעורה לחלוטין על פני כל "c". RRA קבוע מרמז על הפחתה ב-ARA של התיאוריה של Arrow Pratt, אך לא תמיד ההיפך נכון. כדוגמה ספציפית לשנאת סיכון יחסית קבועה, פונקציית השירות: u(c)=log(c), מרמזת על RRA=1.
גרף שמאלי: פונקציית השירות המונעת סיכון היא קעורה מלמטה, ופונקציית השירות שונאת הסיכון היא קמורה. גרף אמצעי - במרחב של ערכי סטיית התקן הצפויים, עקומות אדישות הסיכון משתפלות כלפי מעלה. עלילה ימנית - עם הסתברויות קבועות של שני המצבים החלופיים 1 ו-2, עקומות האדישות נטולות הסיכון על פני צמדי תוצאה תלויי מצב הן קמורות.
מערכת בחירות נומינלית
בתחילה, חץ דחה את התועלת הקרדינלית ככלי חשוב להבעת רווחה חברתית, אז הוא ריכז את טענותיו בהעדפות הדירוג, אך מאוחר יותרהגיע למסקנה ששיטת דירוג קרדינלית עם שלוש או ארבע מחלקות היא כנראה הטובה ביותר. לפי משפט חוסר האפשרות, הבחירה הציבורית מניחה שהעדפות אינדיבידואליות וחברתיות מסודרות, כלומר סיפוק מהשלמות והטרנזיטיביות בחלופות שונות. המשמעות היא שאם העדפות מיוצגות על ידי פונקציית שירות, הערך שלה שימושי במובן שהוא הגיוני, שכן ערך גבוה יותר פירושו חלופה טובה יותר.
יישומים מעשיים של המשפט משמשים להערכת קטגוריות רחבות של מערכות הצבעה. הטיעון המרכזי של חץ טוען שמערכות ההצבעה לפי סדר תמיד חייבות להפר לפחות אחד מקריטריוני ההגינות שהוא התווה. המשמעות המעשית של זה היא שצריך ללמוד מערכות הצבעה שאינן תקינות. לדוגמה, דירוג מערכות ההצבעה שבהן הבוחרים נותנים לכל מועמד נקודות יכולות לעמוד בכל הקריטריונים של Arrow.
למעשה, מנגנון ההצבעה, הבחירה הקולקטיבית הרציונלית של משפט החץ והדיאלוג שלאחר מכן, היה מטעה להפליא בתחום ההצבעה. לעתים קרובות מאמינים סטודנטים ולא מומחים ששום מערכת הצבעה לא יכולה לעמוד בקריטריוני ההגינות של Arrow, כאשר, למעשה, מערכות דירוג יכולות ועומדות בכל הקריטריונים של Arrow.
