אחד מענפי המתמטיקה איתם מתמודדים תלמידי בית הספר עם הקשיים הגדולים ביותר הוא הטריגונומטריה. אין פלא: כדי לשלוט בחופשיות בתחום הידע הזה, אתה צריך חשיבה מרחבית, היכולת למצוא סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים באמצעות נוסחאות, לפשט ביטויים ולהיות מסוגלים להשתמש במספר pi בחישובים. בנוסף, אתה צריך להיות מסוגל ליישם טריגונומטריה בעת הוכחת משפטים, וזה דורש או זיכרון מתמטי מפותח או יכולת להסיק שרשראות לוגיות מורכבות.
מקורות הטריגונומטריה
מבוא למדע זה צריך להתחיל בהגדרה של הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית, אך ראשית עליך להבין מה עושה טריגונומטריה באופן כללי.
מבחינה היסטורית, משולשים ישרים זוויות היו האובייקט העיקרי של המחקר בחלק זה של המדע המתמטי. הנוכחות של זווית של 90 מעלות מאפשרת לבצע פעולות שונות המאפשרות שתייםצדדים ופינה אחת או שתי פינות וצד אחד כדי לקבוע את הערכים של כל הפרמטרים של הדמות המדוברת. בעבר אנשים שמו לב לדפוס הזה והחלו להשתמש בו באופן פעיל בבניית מבנים, ניווט, אסטרונומיה ואפילו אמנות.
Inception
בתחילה, אנשים דיברו על הקשר של זוויות וצלעות אך ורק בדוגמה של משולשים ישרים. אז התגלו נוסחאות מיוחדות, שאפשרו להרחיב את גבולות השימוש בחיי היומיום של חלק זה של המתמטיקה.
לימוד הטריגונומטריה בבית הספר כיום מתחיל במשולשים ישרים, ולאחר מכן הידע שנצבר משמש את התלמידים בפיזיקה ובפתרון משוואות טריגונומטריות מופשטות, שהעבודה איתה מתחילה בתיכון.
טריגונומטריה כדורית
מאוחר יותר, כשהמדע הגיע לשלב הבא של התפתחות, החלו להשתמש בנוסחאות עם סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בגיאומטריה כדורית, שבה חלים כללים אחרים, וסכום הזוויות במשולש תמיד גדול יותר. מ-180 מעלות. חלק זה לא נלמד בבית הספר, אבל יש צורך לדעת על קיומו, לפחות כי פני כדור הארץ, וכל פני כוכב לכת אחר, קמורים, כלומר כל סימון של פני השטח יהיה "בצורת קשת". " במרחב תלת מימדי.
קח גלובוס וחוט. חבר את החוט לכל שתי נקודות על הגלובוס כך שהוא מתוח. שימו לב - הוא קיבל צורה של קשת. זה עוסק בצורות כאלהגיאומטריה כדורית בשימוש בגיאודזיה, אסטרונומיה ותחומים תיאורטיים ויישומיים אחרים.
משולש ימני
למדנו מעט על דרכי השימוש בטריגונומטריה, נחזור לטריגונומטריה הבסיסית על מנת להבין יותר מה הם סינוס, קוסינוס, טנג'נס, אילו חישובים ניתן לבצע בעזרתם ובאילו נוסחאות להשתמש.
קודם כל, אתה צריך להבין את המושגים הקשורים למשולש ישר זווית. ראשית, התחתון הוא הצלע המנוגדת לזווית של 90 מעלות. היא הכי ארוכה. אנו זוכרים שלפי משפט פיתגורס, ערכו המספרי שווה לשורש סכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.
לדוגמה, אם שתי צלעות הן 3 ו-4 סנטימטרים בהתאמה, אורך התחתון יהיה 5 סנטימטרים. אגב, המצרים הקדמונים ידעו על זה לפני כארבעה וחצי אלף שנה.
שתי הצלעות הנותרות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים. בנוסף, עלינו לזכור שסכום הזוויות במשולש במערכת קואורדינטות מלבנית הוא 180 מעלות.
הגדרה
לבסוף, לאחר הבנה מוצקה של הבסיס הגיאומטרי, נוכל לפנות להגדרה של הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית.
הסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הנגדית (כלומר הצלע המנוגדת לזווית הרצויה) לבין התחתון. הקוסינוס של זווית הוא היחס בין הרגל הסמוכה לתחתית.
זכור שלא סינוס או קוסינוס יכולים להיות גדולים מאחד! למה?מכיוון שהתחתון הוא כברירת מחדל הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית. לא משנה כמה אורך הרגל, היא תהיה קצרה מהתחתון, מה שאומר שהיחס שלהם תמיד יהיה פחות מאחד. לפיכך, אם אתה מקבל סינוס או קוסינוס עם ערך גדול מ-1 בתשובה לבעיה, חפש שגיאה בחישובים או בנימוקים. ברור שהתשובה הזו שגויה.
לבסוף, הטנגנס של זווית הוא היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה. אותה תוצאה תיתן את חלוקת הסינוס בקוסינוס. תראה: לפי הנוסחה נחלק את אורך הצלע בתחתית, לאחר מכן נחלק באורך הצלע השניה ומכפילים בתחתית. לפיכך, נקבל את אותו יחס כמו בהגדרת המשיק.
Cotangent, בהתאמה, הוא היחס בין הצד הסמוך לפינה לצד הנגדי. נקבל את אותה תוצאה על ידי חלוקת היחידה בטנגנס.
לכן, שקלנו את ההגדרות של מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי, ונוכל להתמודד עם נוסחאות.
נוסחאות פשוטות
בטריגונומטריה אי אפשר בלי נוסחאות - איך למצוא סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט בלעדיהם? אבל זה בדיוק מה שנדרש כשפותרים בעיות.
הנוסחה הראשונה שאתה צריך לדעת כשאתה מתחיל ללמוד טריגונומטריה אומרת שסכום הריבועים של הסינוס והקוסינוס של זווית שווה לאחד. נוסחה זו היא תוצאה ישירה של משפט פיתגורס, אך היא חוסכת זמן אם אתה צריך לברר את ערך הזווית, לא את הצלע.
סטודנטים רבים לא זוכרים את הנוסחה השנייה, גם מאודפופולרי בפתרון בעיות בית ספר: הסכום של אחד וריבוע הטנגנס של זווית שווה לאחד חלקי הריבוע של הקוסינוס של הזווית. תסתכל מקרוב: אחרי הכל, זו אותה אמירה כמו בנוסחה הראשונה, רק שני הצדדים של הזהות חולקו בריבוע של הקוסינוס. מסתבר שפעולה מתמטית פשוטה הופכת את הנוסחה הטריגונומטרית לבלתי ניתנת לזיהוי לחלוטין. זכרו: בידיעה מהו סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כללי ההמרה וכמה נוסחאות בסיסיות, תוכלו בכל עת לגזור באופן עצמאי את הנוסחאות המורכבות יותר הנדרשות על פיסת נייר.
נוסחאות זווית כפולה והוספת ארגומנטים
שתי נוסחאות נוספות ללמידה קשורות לערכי הסינוס והקוסינוס של הסכום וההפרש של זוויות. הם מוצגים באיור למטה. שימו לב שבמקרה הראשון, הסינוס והקוסינוס מוכפלים בשתי הפעמים, ובמקרה השני מתווסף המכפלה הזוגית של הסינוס והקוסינוס.
ישנן גם נוסחאות הקשורות לארגומנטים של זווית כפולה. הם נגזרים לחלוטין מהקודמים - כתרגול, נסו להשיג אותם בעצמכם, קחו את זווית האלפא שווה לזווית הבטא.
לבסוף, שים לב שניתן להמיר את נוסחאות הזווית הכפולה כדי להפחית את מידת הסינוס, הקוסינוס, טנגנס אלפא.
משפטים
שני המשפטים העיקריים בטריגונומטריה הבסיסית הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס. בעזרת משפטים אלה, אתה יכול להבין בקלות כיצד למצוא את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, ומכאן את שטח הדמות ואת הגודלכל צד וכו'
משפט הסינוס קובע שכתוצאה מחלוקת אורך כל אחת מצלעות משולש בערך של הזווית הנגדית, נקבל את אותו מספר. יתרה מכך, מספר זה יהיה שווה לשני רדיוסים של המעגל המוקף, כלומר המעגל המכיל את כל נקודות המשולש הנתון.
משפט הקוסינוס מכליל את משפט פיתגורס, ומקרין אותו על כל משולשים. מסתבר שמסכום הריבועים של שתי הצלעות, מחסירים את המכפלה שלהן, כפול הקוסינוס הכפול של הזווית הסמוכה להן - הערך המתקבל יהיה שווה לריבוע הצלע השלישית. לפיכך, מסתבר שמשפט פיתגורס הוא מקרה מיוחד של משפט הקוסינוס.
טעויות עקב חוסר תשומת לב
גם אם יודעים מה הם סינוס, קוסינוס וטנג'נס, קל לטעות בגלל היעדר דעת או טעות בחישובים הפשוטים ביותר. כדי להימנע מטעויות כאלה, בואו נסתכל על הטעויות הפופולריות ביותר.
קודם כל, אל תמיר שברים רגילים לעשרונים לפני קבלת התוצאה הסופית - אתה יכול להשאיר את התשובה כשבר רגיל, אלא אם כן צוין אחרת בתנאי. טרנספורמציה כזו אינה יכולה להיקרא טעות, אך יש לזכור שבכל שלב של המשימה עשויים להופיע שורשים חדשים, שעל פי רעיון המחבר יש לצמצם. במקרה זה, תבזבז זמן על פעולות מתמטיות מיותרות. זה נכון במיוחד עבור ערכים כמו השורש של שלושה או שניים, מכיוון שהם מתרחשים במשימות בכל שלב. אותו דבר לגבי עיגול.מספרים "מכוערים".
לאחר מכן, שימו לב שמשפט הקוסינוס חל על כל משולש, אבל לא על משפט פיתגורס! אם תשכחו בטעות להחסיר פי שניים מהמכפלה של הצלעות כפול הקוסינוס של הזווית ביניהן, לא רק שתקבלו תוצאה שגויה לחלוטין, אלא גם תדגימו אי הבנה מוחלטת של הנושא. זה יותר גרוע מטעות רשלנית.
שלישי, אל תבלבלו בין הערכים של זוויות של 30 ו-60 מעלות עבור סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים, קוטנגנטים. זכור את הערכים הללו, כי הסינוס של 30 מעלות שווה לקוסינוס של 60, ולהיפך. קל לערבב ביניהם, ובהכרח תקבל תוצאה שגויה.
Application
סטודנטים רבים לא ממהרים להתחיל ללמוד טריגונומטריה, כי הם לא מבינים את המשמעות היישומית שלה. מהו סינוס, קוסינוס, טנג' עבור מהנדס או אסטרונום? אלו מושגים שבזכותם ניתן לחשב את המרחק לכוכבים רחוקים, לחזות נפילת מטאוריט, לשלוח בדיקה מחקרית לכוכב לכת אחר. בלעדיהם, אי אפשר לבנות בניין, לתכנן מכונית, לחשב את העומס על פני השטח או את המסלול של חפץ. ואלה רק הדוגמאות הברורות ביותר! אחרי הכל, טריגונומטריה בצורה כזו או אחרת משמשת בכל מקום, ממוזיקה ועד רפואה.
לסיכום
אז, אתה יודע מה זה סינוס, קוסינוס, טנג'נס. אתה יכול להשתמש בהם בחישובים ולפתור בהצלחה בעיות בבית הספר.
כל הענייןהטריגונומטריה מצטמצמת לעובדה שעל פי הפרמטרים הידועים של המשולש, יש צורך לחשב את הלא ידועים. ישנם שישה פרמטרים בסך הכל: אורכי שלוש צלעות וגדלים של שלוש זוויות. כל ההבדל במשימות טמון בעובדה שניתנים נתוני קלט שונים.
איך למצוא את הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס בהתבסס על האורכי הידועים של הרגליים או הירוק, עכשיו אתה יודע. מכיוון שלמונחים אלו אין יותר משמעות מאשר יחס, ויחס הוא שבר, המטרה העיקרית של הבעיה הטריגונומטרית היא למצוא את השורשים של משוואה רגילה או מערכת משוואות. והנה המתמטיקה הרגילה בבית הספר תעזור לך.
