במתמטיקה, פונקציות הפוכות הן ביטויים התואמים זה את זה שהופכים זה לזה. כדי להבין מה זה אומר, כדאי לשקול דוגמה ספציפית. נניח שיש לנו y=cos(x). אם ניקח את הקוסינוס מהארגומנט, נוכל למצוא את הערך של y. ברור, בשביל זה אתה צריך x. אבל מה אם השחקן יינתן בהתחלה? כאן זה מגיע ללב העניין. כדי לפתור את הבעיה, נדרש שימוש בפונקציה הפוכה. במקרה שלנו, זהו קוסינוס הקשת.
לאחר כל ההמרות, נקבל: x=arccos(y).
כלומר, כדי למצוא פונקציה הפוכה לנתונה, מספיק רק להביע טיעון ממנה. אבל זה עובד רק אם לתוצאה תהיה ערך יחיד (עוד על כך בהמשך).
במונחים כלליים, ניתן לכתוב עובדה זו באופן הבא: f(x)=y, g(y)=x.
הגדרה
תן f להיות פונקציה שהתחום שלה הוא קבוצת X, וטווח הערכים הוא קבוצת Y. לאחר מכן, אם קיים g שהתחומים שלו מבצעים משימות הפוכות, אז f הוא הפיך.
חוץ מזה, במקרה הזה g הוא ייחודי, כלומר יש בדיוק פונקציה אחת שעונה על המאפיין הזה (לא יותר, לא פחות). אז היא נקראת הפונקציה ההפוכה, ובכתב היא מסומנת כך: g(x)=f -1(x).
במילים אחרות, ניתן לראות אותם כיחס בינארי. הפיכות מתרחשת רק כאשר אלמנט אחד של הסט תואם לערך אחד מהשני.
לא תמיד יש פונקציה הפוכה. לשם כך, כל אלמנט y є Y חייב להתאים לכל היותר לאחד x є X. ואז f נקרא אחד לאחד או הזרקה. אם f -1 שייך ל-Y, אז כל רכיב של קבוצה זו חייב להתאים לכמה x ∈ X. פונקציות עם תכונה זו נקראות surjections. זה מתקיים בהגדרה אם Y הוא תמונה f, אבל זה לא תמיד המקרה. כדי להיות הפוך, פונקציה חייבת להיות גם הזרקה וגם ניתוח. ביטויים כאלה נקראים ביגציות.
דוגמה: פונקציות ריבוע ושורש
הפונקציה מוגדרת ב-[0, ∞) וניתנת על ידי הנוסחה f (x)=x2.
אז זה לא בזריקות, כי כל תוצאה אפשרית Y (למעט 0) מתאימה לשני X'ים שונים - אחד חיובי ואחד שלילי, ולכן הוא אינו הפיך. במקרה זה, אי אפשר יהיה להשיג את הנתונים הראשוניים מהנתונים שהתקבלו, דבר סותרתיאוריות. זה יהיה ללא הזרקה.
אם תחום ההגדרה מוגבל באופן מותנה לערכים לא שליליים, אז הכל יעבוד כמו קודם. אז הוא נבנה ולכן ניתן להפיכה. הפונקציה ההפוכה כאן נקראת חיובית.
הערה על כניסה
תנו לייעוד f -1 (x) לבלבל אדם, אך בשום מקרה אין להשתמש בו כך: (f (x)) - 1 . זה מתייחס למושג מתמטי שונה לחלוטין ואין לו שום קשר לפונקציה ההפוכה.
ככלל, חלק מהכותבים משתמשים בביטויים כמו sin-1 (x).
עם זאת, מתמטיקאים אחרים מאמינים שזה יכול לגרום לבלבול. כדי למנוע קשיים כאלה, פונקציות טריגונומטריות הפוכות מסומנות לעתים קרובות עם הקידומת "קשת" (מהקשת הלטינית). במקרה שלנו, אנחנו מדברים על arcsine. אתה יכול גם לראות מדי פעם את הקידומת "ar" או "inv" עבור כמה פונקציות אחרות.
