לנסח זאת בפשטות ובקצרה, ההיקף הוא הערכים שכל פונקציה יכולה לקחת. על מנת לחקור את הנושא הזה במלואו, עליך לפרק בהדרגה את הנקודות והמושגים הבאים. ראשית, בואו נבין את הגדרת הפונקציה ואת ההיסטוריה של הופעתה.
מהי פונקציה
כל המדעים המדויקים מספקים לנו דוגמאות רבות שבהן המשתנים המדוברים תלויים בצורה כלשהי זה בזה. לדוגמה, צפיפות החומר נקבעת לחלוטין על ידי המסה והנפח שלו. הלחץ של גז אידיאלי בנפח קבוע משתנה עם הטמפרטורה. דוגמאות אלה מאוחדות על ידי העובדה שלכל הנוסחאות יש תלות בין משתנים, הנקראים פונקציונליים.
פונקציה היא מושג המבטא את התלות של כמות אחת באחרת. יש לו את הצורה y=f(x), כאשר y הוא הערך של הפונקציה, שתלוי ב-x - הארגומנט. לפיכך, אנו יכולים לומר ש-y הוא משתנה התלוי בערך של x. הערכים ש-x יכול לקחת יחד הםהתחום של הפונקציה הנתונה (D(y) או D(f)), ובהתאם לכך, ערכי y מהווים את קבוצת ערכי הפונקציה (E(f) או E(y)). ישנם מקרים שבהם פונקציה ניתנת על ידי נוסחה כלשהי. במקרה זה, תחום ההגדרה מורכב מהערך של משתנים כאלה, שבהם הסימון עם הנוסחה הגיוני.
ישנן תכונות תואמות או שוות. אלו שתי פונקציות שיש להן טווחים שווים של ערכים חוקיים, כמו גם הערכים של הפונקציה עצמה שווים עבור כל אותם הארגומנטים.
חוקים רבים של המדעים המדויקים נקראים בדומה למצבים בחיים האמיתיים. יש עובדה מעניינת כזו גם על הפונקציה המתמטית. ישנו משפט על הגבול של פונקציה ש"מצמידה" בין שניים אחרים שיש להם את אותו הגבול - על שני שוטרים. הם מסבירים זאת כך: מכיוון ששני שוטרים מובילים אסיר לתא ביניהם, הפושע נאלץ ללכת לשם, ופשוט אין לו ברירה.
הפניה היסטורית לתכונה
המושג של פונקציה לא הפך מיד לסופי ומדויק, הוא עבר דרך ארוכה. ראשית, המבוא והמחקר של פרמה על מקומות מישוריים ומוצקים, שפורסם בסוף המאה ה-17, קבע את הדברים הבאים:
בכל פעם שיש שני לא ידועים במשוואה הסופית, יש מקום.
באופן כללי, עבודה זו מדברת על תלות תפקודית ועל הדימוי החומרי שלה (מקום=קו).
כמו כן, בערך באותו זמן, רנה דקארט למד את הקווים לפי משוואותיהם ביצירתו "גיאומטריה" (1637), שם שוב העובדהתלות של שתי כמויות זו בזו.
עצם אזכור המונח "פונקציה" הופיע רק בסוף המאה ה-17 עם לייבניץ, אך לא בפרשנותו המודרנית. בעבודתו המדעית, הוא חשב שפונקציה היא מקטעים שונים הקשורים לקו עקום.
אבל כבר במאה ה-18 התחילו להגדיר את הפונקציה בצורה נכונה יותר. ברנולי כתב את הדברים הבאים:
פונקציה היא ערך המורכב ממשתנה וקבוע.
מחשבותיו של אוילר היו גם קרובות לכך:
פונקציית כמות משתנה היא ביטוי אנליטי המורכב בדרך כלשהי מכמות ומספרים משתנה זה או מכמויות קבועות.
כאשר כמה כמויות תלויות באחרות באופן שכאשר האחרונות משתנות, הן משתנות בעצמן, אז הראשונות נקראות פונקציות של האחרונות.
תרשים פונקציות
הגרף של הפונקציה מורכב מכל הנקודות השייכות לצירים של מישור הקואורדינטות, שהאבססיס שלהם לוקח את ערכי הארגומנט, וערכי הפונקציה בנקודות אלו הם סדינים.
ההיקף של פונקציה קשור ישירות לגרף שלה, מכיוון שאם אבסקיס כלשהן לא נכללים בטווח הערכים החוקיים, אז אתה צריך לצייר נקודות ריקות על הגרף או לצייר את הגרף בגבולות מסוימים. לדוגמה, אם נלקח גרף בצורה y=tgx, אז הערך x=pi / 2 + pin, n∉R אינו נכלל מאזור ההגדרה, במקרה של גרף משיק, אתה צריך לציירקווים אנכיים מקבילים לציר ה-y (הם נקראים אסימפטוטים) העוברים דרך הנקודות ±pi/2.
כל לימוד יסודי וקפדני של פונקציות מהווה ענף גדול במתמטיקה הנקרא חשבון. במתמטיקה יסודית נוגעים גם בשאלות אלמנטריות לגבי פונקציות, למשל, בניית גרף פשוט וקביעת כמה מאפיינים בסיסיים של פונקציה.
איזו פונקציה אפשר להגדיר ל
הפונקציה יכולה:
- להיות נוסחה, לדוגמה: y=cos x;
- מוגדר על ידי כל טבלת זוגות של הטופס (x; y);
- יש מיד תצוגה גרפית, לשם כך יש להציג את הזוגות מהפריט הקודם של הטופס (x; y) על צירי הקואורדינטות.
היזהר בעת פתרון בעיות ברמה גבוהה, כמעט כל ביטוי יכול להיחשב כפונקציה ביחס לארגומנט כלשהו עבור הערך של הפונקציה y (x). מציאת תחום ההגדרה במשימות כאלה יכולה להיות המפתח לפתרון.
למה ההיקף?
הדבר הראשון שאתה צריך לדעת על פונקציה כדי ללמוד או לבנות אותה הוא ההיקף שלה. הגרף צריך להכיל רק את הנקודות שבהן הפונקציה יכולה להתקיים. ניתן להתייחס לתחום ההגדרה (x) גם כתחום הערכים המקובלים (בקיצור ODZ).
כדי לבנות בצורה נכונה ומהירה גרף של פונקציות, אתה צריך לדעת את התחום של פונקציה זו, כי המראה של הגרף והנאמנות תלויים בובְּנִיָה. לדוגמה, כדי לבנות פונקציה y=√x, אתה צריך לדעת ש-x יכול לקבל רק ערכים חיוביים. לכן, הוא בנוי רק ברביע הקואורדינטות הראשון.
היקף ההגדרה על הדוגמה של פונקציות אלמנטריות
בארסנל שלה, למתמטיקה יש מספר קטן של פונקציות פשוטות ומוגדרות. יש להם היקף מוגבל. הפתרון לסוגיה זו לא יגרום לקשיים גם אם לפניכם פונקציה מורכבת כביכול. זה רק שילוב של כמה פשוטים.
- לכן, הפונקציה יכולה להיות חלקית, לדוגמה: f(x)=1/x. לפיכך, המשתנה (הטיעון שלנו) נמצא במכנה, וכולם יודעים שהמכנה של שבר אינו יכול להיות שווה ל-0, לכן, הארגומנט יכול לקבל כל ערך מלבד 0. הסימון ייראה כך: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). אם יש ביטוי כלשהו עם משתנה במכנה, אז אתה צריך לפתור את המשוואה עבור x ולא לכלול את הערכים שהופכים את המכנה ל-0. עבור ייצוג סכמטי מספיקות 5 נקודות שנבחרו היטב. הגרף של פונקציה זו יהיה היפרבולה עם אסימפטוטה אנכית העוברת דרך הנקודה (0; 0) ובצירוף הצירים Ox ו-Oy. אם התמונה הגרפית מצטלבת עם האסימפטוטות, שגיאה כזו תיחשב הגסה ביותר.
- אבל מהו תחום השורש? לתחום של פונקציה עם ביטוי רדיקלי (f(x)=√(2x + 5)), המכילה משתנה, יש גם ניואנסים משלו (חל רק על השורש של מדרגה זוגית). כפי שהשורש האריתמטי הוא ביטוי חיובי או שווה ל-0, אז ביטוי השורש חייב להיות גדול או שווה ל-0, אנו פותרים את אי השוויון הבא: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, לכן, התחום של זה פונקציה: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). הגרף הוא אחד מענפי פרבולה, מסובב ב-90 מעלות, הממוקם ברביע הקואורדינטות הראשון.
- אם בפונקציה לוגריתמית עסקינן, אז כדאי לזכור שקיימת הגבלה לגבי בסיס הלוגריתם והביטוי מתחת לסימן הלוגריתם, במקרה זה ניתן למצוא את תחום ההגדרה כ עוקב. יש לנו פונקציה: y=loga(x + 7), אנחנו פותרים את אי השוויון: x + 7 > 0, x > -7. אז התחום של פונקציה זו הוא D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- שימו לב גם לפונקציות טריגונומטריות בצורה y=tgx ו- y=ctgx, מכיוון ש- y=tgx=sinx/cos/x ו- y=ctgx=cosx/sinx, לכן, עליך לא לכלול ערכים שבו המכנה יכול להיות שווה לאפס. אם אתה מכיר את הגרפים של פונקציות טריגונומטריות, הבנת התחום שלהן היא משימה פשוטה.
איך שונה העבודה עם פונקציות מורכבות
זכור כמה כללים בסיסיים. אם אנחנו עובדים עם פונקציה מורכבת, אז אין צורך לפתור משהו, לפשט, להוסיף שברים, לצמצם למכנה המשותף הנמוך ביותר ולחלץ שורשים. עלינו לחקור את הפונקציה הזו מכיוון שפעולות שונות (אפילו זהות) יכולות לשנות את היקף הפונקציה, ולגרום לתשובה שגויה.
לדוגמה, יש לנו פונקציה מורכבת: y=(x2 - 4)/(x - 2). לא נוכל לצמצם את המונה והמכנה של השבר, כיוון שזה אפשרי רק אם x ≠ 2, וזוהי המשימה למצוא את תחום הפונקציה, אז אנחנו לא מפרקים את המונה ולא פותרים אי-שוויון, כי ערך שבו הפונקציה לא קיימת, גלוי לעין בלתי מזוינת. במקרה זה, x לא יכול לקבל את הערך 2, מכיוון שהמכנה לא יכול להגיע ל-0, הסימון ייראה כך: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
פונקציות הדדיות
להתחלה, כדאי לומר שפונקציה יכולה להפוך להפיכה רק במרווח של עלייה או ירידה. כדי למצוא את הפונקציה ההפוכה, עליך להחליף את x ו-y בסימון ולפתור את המשוואה עבור x. תחומים של הגדרה ותחומי ערך פשוט הפוכים.
התנאי העיקרי להפיכות הוא מרווח מונוטוני של פונקציה, אם לפונקציה יש מרווחים של עלייה וירידה, אז אפשר להרכיב את הפונקציה ההפוכה של כל מרווח אחד (עלייה או ירידה).
לדוגמה, עבור הפונקציה המעריכית y=exההדדית היא הפונקציה הלוגריתמית הטבעית y=logea=lna. עבור טריגונומטריה, אלו יהיו פונקציות עם הקידומת arc-: y=sinx ו- y=arcsinx וכן הלאה. גרפים ימוקמו באופן סימטרי ביחס לצירים או אסימפטוטים מסוימים.
מסקנות
חיפוש אחר טווח הערכים המקובל מסתכם בבחינת גרף הפונקציות (אם יש כזה),הקלטה ופתרון של מערכת אי השוויון הספציפית הדרושה.
אז, מאמר זה עזר לך להבין למה מיועדת היקף הפונקציה וכיצד למצוא אותה. אנו מקווים שזה יעזור לך להבין היטב את הקורס הבסיסי בבית הספר.
