בגרסה בקנה מידה, מודל הוא סוג של תמונה, דיאגרמה, מפה, תיאור, תמונה של תופעה או תהליך מסוים. התופעה עצמה נקראת מקור של מודל מתמטי או כלכלי.
מה זה דוגמנות?
מודלינג הוא מחקר של אובייקט כלשהו, מערכת. לצורך יישומו, נבנה ונותח מודל.
כל שלבי המידול כוללים ניסוי מדעי, שאובייקטו הוא מודל מופשט או נושא. כאשר עורכים ניסוי, תופעה מסוימת מוחלפת בתכנית או במודל פשוט (העתק). במקרים מסוימים, מודל עבודה מורכב על מנת להבין את מנגנון העבודה באמצעות הדוגמה שלו, לנתח את ההיתכנות הכלכלית של הכנסת תוצאות הניסיון לכלכלת שוק. אותה תופעה יכולה להיחשב על ידי דגמים שונים.
החוקר חייב לבחור את שלבי הדוגמנות הדרושים, להשתמש בהם בצורה מיטבית. השימוש במודלים רלוונטי במקרים בהם חפץ אמיתי אינו זמין, או ניסויים בו קשורים לבעיות סביבתיות חמורות. המודל הנוכחי מיושם גם במצבים שבהם ניסוי אמיתיכרוך בעלויות חומר משמעותיות.
תכונות של מודלים מתמטיים
מודלים מתמטיים הם הכרחיים במדע, כמו גם כלים עבורם - מושגים מתמטיים. במהלך כמה אלפי שנים, הם הצטברו והתחדשו. במתמטיקה המודרנית, קיימות דרכים אוניברסליות וחזקות למחקר. כל חפץ שנחשב על ידי "מלכת המדעים" הוא מודל מתמטי. לניתוח מפורט של האובייקט הנבחר, נבחרים שלבי המודלים המתמטיים. בעזרתם מבחינים בפרטים, מאפיינים, מאפיינים אופייניים, המידע המתקבל עובר שיטתיות ומבוצע תיאור מלא של החפץ.
פורמליזציה מתמטית כוללת פעולה במהלך מחקר עם מושגים מיוחדים: מטריצה, פונקציה, נגזרת, אנטי-נגזרת, מספרים. היחסים והקשרים שניתן למצוא באובייקט הנחקר בין המרכיבים והפרטים המרכיבים מתועדים על ידי יחסים מתמטיים: משוואות, אי-שוויון, שוויון. כתוצאה מכך, מתקבל תיאור מתמטי של תופעה או תהליך, וכתוצאה מכך, המודל המתמטי שלה.
כללים ללימוד מודל מתמטי
יש סדר מסוים של שלבי מודלים המאפשר לך ליצור קשרים בין השפעות וסיבות. השלב המרכזי בתכנון או לימוד המערכת הוא בניית מודל מתמטי מלא. הניתוח הנוסף של אובייקט זה תלוי ישירות באיכות הפעולות שבוצעו. בִּניָןמודל מתמטי או כלכלי אינו הליך פורמלי. זה צריך להיות קל לשימוש, מדויק, כך שלא יהיו עיוותים בתוצאות הניתוח.
על סיווג מודלים מתמטיים
יש שני זנים: מודלים דטרמיניסטים וסטוכסטיים. מודלים דטרמיניסטיים כוללים יצירת התאמה אחד לאחד בין משתנים המשמשים לתיאור תופעה או אובייקט.
גישה זו מבוססת על מידע על עקרון הפעולה של האובייקט. במקרים רבים, לתופעה שמדגמים מבנה מורכב, ונדרש הרבה זמן וידע כדי לפענח אותה. במצבים כאלה נבחרים שלבי מידול כאלה שיאפשרו לערוך ניסויים על המקור, עיבוד התוצאות שהתקבלו, מבלי להיכנס לתכונות התיאורטיות של האובייקט. משתמשים לרוב בסטטיסטיקה ובתורת הסתברות. התוצאה היא מודל סטוכסטי. יש קשר אקראי בין המשתנים. מספר עצום של גורמים שונים גורם לקבוצה אקראית של משתנים המאפיינים תופעה או אובייקט.
שלבי דוגמנות מודרניים חלים על מודלים סטטיים ודינמיים. בתצוגות סטטיות, תיאור הקשרים בין המשתנים של התופעה שנוצרה אינו מרמז על התחשבות בשינוי הזמן של הפרמטרים העיקריים. עבור מודלים דינמיים, תיאור הקשרים בין משתנים מתבצע תוך התחשבות בשינויים זמניים.
מגוון דגמים:
- continuous;
- discrete;
- mixed
שלבים שונים של מידול מתמטי מאפשרים לתאר קשרים ופונקציות במודלים ליניאריים באמצעות חיבור ישיר של משתנים.
מהן הדרישות לדגמים?
- רבגוניות. המודל חייב להיות ייצוג מלא של כל המאפיינים הטמונים באובייקט האמיתי.
- התאמה. מאפיינים חשובים של האובייקט אינם יכולים לחרוג מהשגיאה שצוינה.
- דיוק. הוא מאפיין את מידת צירוף המקרים של המאפיינים של אובייקט שקיים במציאות עם פרמטרים דומים שהתקבלו במהלך לימוד המודל.
- כלכלה. הדגם צריך להיות מינימלי מבחינת עלויות החומר.
צעדי דוגמנות
בואו נשקול את השלבים העיקריים של מודלים מתמטיים.
בחירת משימה. נבחרת מטרת המחקר, נבחרות שיטות ליישומו ופותחת אסטרטגיית ניסוי. שלב זה כרוך בעבודה רצינית. התוצאה הסופית של הסימולציה תלויה בנכונות המשימה
- ניתוח היסודות התיאורטיים, סיכום המידע שהתקבל על האובייקט. שלב זה כולל בחירה או יצירה של תיאוריה. בהיעדר ידע תיאורטי על האובייקט, נוצרים קשרים סיבתיים בין כל המשתנים שנבחרו לתיאור התופעה או האובייקט. בשלב זה נקבעים הנתונים הראשוניים והסופיים, ומוצגת השערה.
- פורמליזציה. מוטמעהבחירה במערכת של סימונים מיוחדים שתעזור לכתוב בצורה של ביטויים מתמטיים את הקשר בין מרכיבי האובייקט המדובר.
תוספות לאלגוריתם
לאחר קביעת פרמטרי המודל, נבחר שיטה או שיטת פתרון מסוימת.
- יישום המודל שנוצר. לאחר בחירת שלבי המודלים של המערכת, נוצרת תוכנית שנבדקת ומיושמת כדי לפתור את הבעיה.
- ניתוח מידע שנאסף. נוצרת אנלוגיה בין המשימה לפתרון שהושג, ונקבעת טעות הדוגמנות.
- בודק אם הדגם מתאים לאובייקט האמיתי. אם יש הבדל משמעותי ביניהם, מפתחים מודל חדש. עד לקבלת ההתאמה האידיאלית של הדגם למקבילו האמיתי, מתבצע חידוד ושינוי פרטים.
מאפייני סימולציה
באמצע המאה הקודמת הופיעה טכנולוגיית המחשב בחייו של אדם מודרני, הרלוונטיות של שיטות מתמטיות לחקר חפצים ותופעות גברה. הופיעו קטעים כמו "כימיה מתמטית", "בלשנות מתמטית", "כלכלה מתמטית", העוסקים בחקר תופעות ואובייקטים, נוצרו השלבים העיקריים של הדוגמנות.
מטרתם העיקרית הייתה חיזוי של תצפיות מתוכננות, חקר עצמים מסוימים. בנוסף, בעזרת הדוגמנות תוכלו ללמוד על העולם שסביבכם, לחפש דרכים לשלוט בו. ניסוי מחשב אמור להתבצע באותם מקרים כאשרהאמיתי לא עובד. לאחר בניית מודל מתמטי של התופעה הנחקרת, באמצעות גרפיקה ממוחשבת, ניתן ללמוד פיצוצים גרעיניים, מגפות מגפות וכו'.
המומחים מבחינים בשלושה שלבים של מודלים מתמטיים, ולכל אחד יש מאפיינים משלו:
- בניית מודל. שלב זה כולל קביעת תכנית כלכלית, תופעות טבע, בנייה, תהליך ייצור. קשה לתאר בבירור את המצב במקרה זה. ראשית עליך לזהות את הפרטים הספציפיים של התופעה, כדי לקבוע את הקשר בינה לבין אובייקטים אחרים. לאחר מכן כל המאפיינים האיכותיים מתורגמים לשפה מתמטית, ונבנה מודל מתמטי. שלב זה הוא הקשה ביותר בכל תהליך הדוגמנות.
- שלב פתרון בעיה מתמטית הקשורה בפיתוח אלגוריתמים, שיטות לפתרון בעיה בטכנולוגיית מחשב, זיהוי שגיאות מדידה.
- תרגום מידע שהושג במהלך מחקר לשפת האזור שעבורו נערך הניסוי.
שלושת השלבים הללו של מידול מתמטי מתווספים על ידי בדיקת הלימות המודל המתקבל. מתבצעת בדיקה של ההתאמה בין התוצאות שהתקבלו בניסוי עם ידע תיאורטי. במידת הצורך, שנה את המודל שנוצר. זה מסובך או מפושט, בהתאם לתוצאות המתקבלות.
תכונות של דוגמנות כלכלית
3 שלבים של מודלים מתמטיים כוללים שימוש במערכות אלגבריות דיפרנציאליותמשוואות. אובייקטים מורכבים נבנים באמצעות תורת הגרפים. זה כולל קבוצה של נקודות במרחב או במישור, המחוברות חלקית בקצוות. השלבים העיקריים של מודלים כלכליים כוללים בחירת משאבים, חלוקתם, חשבונאות לתחבורה, תכנון רשת. איזו פעולה אינה שלב דוגמנות? קשה לענות על שאלה זו באופן חד משמעי, הכל תלוי במצב הספציפי. השלבים העיקריים של תהליך המידול כוללים גיבוש המטרה והנושא של המחקר, זיהוי המאפיינים העיקריים להשגת המטרה ותיאור הקשר בין שברי המודל. לאחר מכן, בצע חישובים באמצעות נוסחאות מתמטיות.
לדוגמה, תורת השירות היא בעיית התורים. חשוב למצוא איזון בין עלות אחזקת מכשירים לבין עלות הימצאות בתור. לאחר בניית תיאור פורמלי של המודל, מתבצעים חישובים באמצעות טכנולוגיות חישוביות ואנליטיות. עם אוסף איכותי של המודל, אתה יכול למצוא תשובות לכל השאלות. אם המודל גרוע, אי אפשר להבין איזו פעולה אינה צעד דוגמנות.
מעשיות היא קריטריון אמיתי להערכת הלימות של תופעה או מודל. מודלים מרובי קריטריונים, כולל אפשרויות אופטימיזציה, כוללים הגדרת יעדים. אבל הדרך להשיג מטרה זו שונה. בין הקשיים האפשריים בתהליך, כדאי להדגיש:
- במערכת מורכבת, יש כמהעניבות;
- קשה להסביר את כל הגורמים האקראיים בעת ניתוח מערכת אמיתית;
- זה בעייתי להשוות את המנגנון המתמטי לתוצאות שאתה רוצה לקבל
בשל המורכבויות הרבות המתעוררות בתהליך לימוד מערכות רב-גוניות, פותח מודל סימולציה. זה מובן כסט של תוכניות מיוחדות לטכנולוגיית מחשב, המתארת את פעולתם של אלמנטים בודדים של המערכת והקשר ביניהם. השימוש במשתנים אקראיים כרוך בחזרה חוזרת על ניסויים, עיבוד סטטיסטי של התוצאות. עבודה עם מערכת סימולציה היא ניסוי שמתבצע בעזרת טכנולוגיית מחשוב. מה היתרונות של מערכת זו? כך ניתן להגיע לקרבה גדולה יותר למערכת המקורית, דבר בלתי אפשרי במקרה של מודל מתמטי. באמצעות עקרון הבלוק, ניתן לנתח בלוקים בודדים לפני שהם נכללים במערכת אחת. אפשרות זו מאפשרת לך להשתמש בקשרים מורכבים שלא ניתן לתאר באמצעות קשרים מתמטיים רגילים.
בין החסרונות של בניית מערכת סימולציה, אנו מדגישים את עלות הזמן והמשאבים, כמו גם את הצורך בשימוש בטכנולוגיית מחשב מודרנית.
שלבי הפיתוח של הדוגמנות דומים לשינויים המתרחשים בחברה. על פי תחום השימוש, כל הדגמים מחולקים לתוכניות אימון, סימולטורים, הוראה ועזרים חזותיים. מודלים ניסיוניים יכולים להיות מופחתים עותקים של עצמים אמיתיים (מכוניות). אפשרויות מדעיות וטכניותהם דוכנים שנוצרו לניתוח ציוד אלקטרוני. מודלים של סימולציה לא רק משקפים את המציאות האמיתית, הם כוללים בדיקות על עכברי מעבדה, ניסויים במערכת החינוך. חיקוי נתפס כשיטה של ניסוי וטעייה.
יש חלוקה של כל הדגמים לפי וריאנט המצגת. מודלים חומריים נקראים נושא. אפשרויות כאלה ניחנות במאפיינים הגיאומטריים והפיזיים של המקור עצמו, ניתן לתרגם אותם למציאות. לא ניתן לגעת בדגמי מידע בידיים. הם מאפיינים את המצב והתכונות של האובייקט הנחקר, התופעה, התהליך והקשר שלהם עם העולם האמיתי. אפשרויות מילוליות כוללות מודלים של מידע המיושמים בצורה דיבורית או נפשית. טיפוסי סימנים מתבטאים על ידי החלת סימנים מסוימים של שפה מתמטית פוליהדרלית.
מסקנה
מודלים מתמטיים כשיטה לידע מדעי הופיע במקביל ליסודות המתמטיקה הגבוהה. תפקיד חשוב בתהליך זה שיחק על ידי I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. מודלים מתמטיים נבנו לראשונה על ידי P. Fermat, B. Pascal. V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie הקדישו תשומת לב למידול מתמטי בייצור ובכלכלה. כיום, קיימת אפשרות דומה לחקר חפץ או תופעה בתחומי פעילות שונים. בעזרת מערכות מתוכננות, מהנדסים חוקרים תופעות ותהליכים כאלה שלא ניתן לנתח בתנאים אמיתיים.
מחקר מדעיעל ידי מודלים, הם שימשו בימי קדם, ותפסו לאורך זמן סוגים שונים של ידע מדעי: אדריכלות, עיצוב, כימיה, בנייה, פיזיקה, ביולוגיה, אקולוגיה, גיאוגרפיה, כמו גם מדעי החברה. בכל תהליך מידול נעשה שימוש בשלושה מרכיבים: נושא, אובייקט, מודל. כמובן, חקר אובייקט או תופעה אינו מוגבל לדוגמנות, ישנן דרכים אחרות להשיג את המידע הדרוש.
