עבור אנשים רבים, ניתוח מתמטי הוא רק קבוצה של מספרים, אייקונים והגדרות בלתי מובנים שרחוקים מהחיים האמיתיים. עם זאת, העולם בו אנו קיימים בנוי על דפוסים מספריים, שזיהוים מסייע לא רק ללמוד על העולם הסובב אותנו ולפתור את בעיותיו המורכבות, אלא גם לפשט את המשימות היומיומיות המעשיות. למה מתמטיקאי מתכוון כשהוא אומר שרצף מספרים מתכנס? יש לדון בזה ביתר פירוט.
מהו אינפיניטסימאל?
בואו נדמיין בובות מטריושקה שמתאימות אחת בתוך השנייה. הגדלים שלהם, הכתובים בצורה של מספרים, החל מהגדול וכלה בקטן שבהם, יוצרים רצף. אם אתה מדמיין מספר אינסופי של דמויות בהירות כאלה, אז השורה שתתקבל תהיה ארוכה להפליא. זהו רצף מספרים מתכנס. והוא שואף לאפס, מכיוון שגודלה של כל בובת קינון שלאחר מכן, פוחתת באופן קטסטרופלי, הופך בהדרגה לאין. אז זה קלניתן להסביר: מה זה אינפיניטסימלי.
דוגמה דומה תהיה דרך המובילה למרחקים. והממדים החזותיים של המכונית המתרחקת מהצופה לאורכה, מתכווצים בהדרגה, הופכים לכתם חסר צורה הדומה לנקודה. כך, המכונה, כמו חפץ, המתרחקת בכיוון לא ידוע, הופכת לקטנה לאין שיעור. הפרמטרים של הגוף שצוין לעולם לא יהיו אפס במובן המילולי של המילה, אך תמיד נוטים לערך זה בגבול הסופי. לכן, הרצף הזה מתכנס שוב לאפס.
חשב הכל טיפה אחר טיפה
בוא נדמיין עכשיו מצב עולמי. הרופא רשם למטופל לקחת את התרופה, החל מעשר טיפות ביום והוספה של שתיים כל יום למחרת. וכך הציע הרופא להמשיך עד שתכלית בקבוקון התרופה, שנפחו הוא 190 טיפות, תיגמר. מהאמור לעיל עולה שמספרם של כאלה, שנקבע לפי יום, יהיה סדרת המספרים הבאה: 10, 12, 14 וכן הלאה.
איך לברר את הזמן להשלמת הקורס כולו ואת מספר החברים ברצף? כאן, כמובן, אפשר לספור טיפות בצורה פרימיטיבית. אבל הרבה יותר קל, בהתחשב בתבנית, להשתמש בנוסחה של סכום התקדמות אריתמטית עם שלב d=2. ובאמצעות שיטה זו, גלה שמספר האיברים בסדרת המספרים הוא 10. במקרה זה, a10=28. מספר הפין מציין את מספר ימי נטילת התרופה, ו-28 מתאים למספר הטיפות שעל המטופללהשתמש ביום האחרון. האם הרצף הזה מתכנס? לא, כי למרות העובדה שהיא מוגבלת ל-10 מלמטה ו-28 מלמעלה, לסדרת מספרים כזו אין הגבלה, בניגוד לדוגמאות הקודמות.
מה ההבדל?
בוא ננסה כעת להבהיר: מתי מסתבר שסדרת המספרים היא רצף מתכנס. הגדרה מסוג זה, כפי שניתן להסיק מהאמור לעיל, קשורה ישירות למושג גבול סופי, אשר נוכחותו מגלה את מהות הסוגיה. אז מה ההבדל המהותי בין הדוגמאות שניתנו קודם לכן? ולמה באחרון שבהם, המספר 28 לא יכול להיחשב כמגבלה של סדרת המספרים X =10 + 2(n-1)?
כדי להבהיר שאלה זו, שקול רצף נוסף שניתן בנוסחה שלהלן, כאשר n שייך לקבוצת המספרים הטבעיים.
קהילת חברים זו היא קבוצה של שברים משותפים, המונה שלהם הוא 1, והמכנה גדל כל הזמן: 1, ½ …
יתרה מכך, כל נציג עוקב של סדרה זו מתקרב ל-0 יותר ויותר מבחינת המיקום על קו המספרים. וזה אומר ששכונה כזו מופיעה שבה הנקודות מתקבצות סביב האפס, וזה הגבול. וככל שהם יותר קרובים אליו, כך הריכוז שלהם על קו המספרים הופך להיות צפוף יותר. והמרחק ביניהם מצטמצם בצורה קטסטרופלית, והופך למרחק אינסופי. זהו סימן לכך שהרצף מתכנס.
דומהלפיכך, המלבנים הרב-צבעוניים המוצגים באיור, כאשר מתרחקים בחלל, צפופים יותר מבחינה ויזואלית, בגבול ההיפותטי הופך לזניח.
רצפים גדולים לאין ערוך
לאחר שניתח את ההגדרה של רצף מתכנס, נעבור לדוגמאות נגד. רבים מהם היו מוכרים לאדם מאז ימי קדם. הווריאציות הפשוטות ביותר של רצפים משתנים הן סדרת המספרים הטבעיים והזוגיים. הם נקראים "גדולים לאין שיעור" בצורה שונה, מכיוון שהחברים שלהם, הגדלים כל הזמן, מתקרבים יותר ויותר לאינסוף חיובי.
דוגמה כזו יכולה להיות גם כל אחת מההתקדמות האריתמטית והגיאומטרית עם צעד ומכנה, בהתאמה, גדולים מאפס. בנוסף, סדרות מספריות נחשבות לרצפים משתנים, שאין להם מגבלה כלל. לדוגמה, X =(-2) -1.
רצף פיבונאצ'י
אין להכחיש את היתרונות המעשיים של סדרת המספרים שהוזכרה קודם לאנושות. אבל יש עוד אינספור דוגמאות נהדרות. אחד מהם הוא רצף פיבונאצ'י. כל אחד מחבריו, המתחילים באחד, הוא סכום הקודמים. שני הנציגים הראשונים שלו הם 1 ו-1. השלישי 1+1=2, הרביעי 1+2=3, החמישי 2+3=5. בהמשך, לפי אותו הגיון, המספרים 8, 13, 21 וכן הלאה עוקבים.
סדרת המספרים הזו גדלה ללא הגבלת זמן ואין להגבול סופי. אבל יש לו עוד נכס נפלא. היחס בין כל מספר קודם למספר הבא הולך ומתקרב בערכו ל- 0.618. כאן ניתן להבין את ההבדל בין רצף מתכנס לסירוגין, כי אם תבצע סדרה של חלוקות חלקיות שהתקבלו, המערכת המספרית המצוינת תהיה בעלי גבול סופי שווה ל-0.618.
רצף של יחסי פיבונאצי
סדרת המספרים המצוינת למעלה נמצאת בשימוש נרחב למטרות מעשיות לניתוח טכני של שווקים. אבל זה לא מוגבל ליכולותיו, שהמצרים והיוונים הכירו והצליחו ליישם בימי קדם. זה מוכח על ידי הפירמידות שהם בנו והפרתנון. אחרי הכל, המספר 0.618 הוא מקדם קבוע של חתך הזהב, הידוע היטב בימים עברו. לפי כלל זה, ניתן לחלק כל קטע שרירותי כך שהיחס בין חלקיו יתאים ליחס שבין הגדול מבין הקטעים לבין האורך הכולל.
בואו נבנה סדרה של היחסים המצוינים וננסה לנתח את הרצף הזה. סדרת המספרים תהיה כדלקמן: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 וכן הלאה. אם נמשיך בדרך זו, נוכל לוודא שהגבול של הרצף המתכנס אכן יהיה 0.618. עם זאת, יש צורך לשים לב למאפיינים נוספים של חוקיות זו. כאן נראה שהמספרים הולכים באופן אקראי, וכלל לא בסדר עולה או יורד. המשמעות היא שהרצף המתכנס הזה אינו מונוטוני. מדוע זה כך יידון בהמשך.
מונוטוניות והגבלה
החברים בסדרת המספרים יכולים בבירור להצטמצם עם גידול במספר (אם x1>x2>x3>…>x >…) או הגדלה (אם x1<x2<x3<…<x <…). במקרה זה, הרצף הוא אמר להיות מונוטוני למהדרין. ניתן גם לראות דפוסים אחרים, שבהם הסדרה המספרית תהיה לא יורדת ולא גדלה (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… או x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), אז המתכנס ברציפות הוא גם מונוטוני, רק לא במובן המחמיר. דוגמה טובה לאפשרויות הראשונות הללו היא סדרת המספרים הניתנת בנוסחה הבאה.
לאחר שציירת את המספרים של סדרה זו, אתה יכול לראות שכל אחד מחבריה, שמתקרב ל-1 ללא הגבלת זמן, לעולם לא יחרוג מהערך הזה. במקרה זה, אומרים שהרצף המתכנס הוא מוגבל. זה קורה בכל פעם שיש מספר חיובי כזה M, שהוא תמיד גדול מכל המונחים של סדרת מודולו. אם לסדרת מספרים יש סימנים של מונוטוניות ויש לה גבול, ולכן מתכנסת, אז היא ניחנת בהכרח במאפיין כזה. וההיפך לא חייב להיות נכון. עדות לכך היא משפט הגבול עבור רצף מתכנס.
היישום של תצפיות כאלה בפועל הוא מאוד שימושי. בוא ניתן דוגמה ספציפית על ידי בחינת המאפיינים של הרצף X =n/n+1, ולהוכיח את ההתכנסות שלו. קל להראות שהוא מונוטוני, שכן (x +1 – x) הוא מספר חיובי עבור n ערכים כלשהם. הגבול של הרצף שווה למספר 1, כלומר מתקיימים כל התנאים של המשפט הנ ל, הנקרא גם משפט ויירשטראס. המשפט על התגבולות של רצף מתכנס קובע שאם יש לו גבול, אז בכל מקרה מתברר שהוא מוגבל. עם זאת, ניקח את הדוגמה הבאה. סדרת המספרים X =(-1) מוגבלת מלמטה ב-1 ומלמעלה ב-1. אבל הרצף הזה אינו מונוטוני, אין לו גבול, ולכן אינו מתכנס. כלומר, קיומו של גבול והתכנסות לא תמיד נובע מהגבלה. כדי שזה יעבוד, הגבול התחתון והעליון חייבים להתאים, כמו במקרה של יחסי פיבונאצ'י.
מספרים וחוקי היקום
הגרסאות הפשוטות ביותר של רצף מתכנס ומתפצל הן אולי הסדרה המספרית X =n ו-X =1/n. הראשון שבהם הוא סדרה טבעית של מספרים. הוא, כאמור, גדול לאין שיעור. הרצף המתכנס השני מוגבל, ומונחיו קרובים לאינפיניטסימליים בגודלם. כל אחת מהנוסחאות הללו מייצגת את אחד הצדדים של היקום הרב-גוני, ועוזרת לאדם לדמיין ולחשב משהו בלתי ניתן לדעת, בלתי נגיש לתפיסה מוגבלת בשפת המספרים והסימנים.
חוקי היקום, הנעים בין זניחים לגדולים להפליא, מבטאים גם את יחס הזהב של 0.618. מדעניםהם מאמינים שהוא הבסיס למהות הדברים ומשמש את הטבע ליצירת חלקיו. היחסים בין החברים הבאים לקודמים בסדרת פיבונאצ'י, שכבר הזכרנו, אינם משלימים את הדגמת המאפיינים המדהימים של הסדרה הייחודית הזו. אם ניקח בחשבון את המנה של חלוקת האיבר הקודם באחד הבא באחד, אז נקבל סדרה של 0.5; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 וכן הלאה. מעניין שהרצף המצומצם הזה מתכנס, הוא לא מונוטוני, אבל היחס בין המספרים הסמוכים הקיצוני מאיבר מסוים תמיד שווה בערך ל-0.382, שניתן להשתמש בו גם בארכיטקטורה, ניתוח טכני ותעשיות אחרות.
ישנם מקדמים מעניינים נוספים של סדרת פיבונאצ'י, כולם ממלאים תפקיד מיוחד בטבע, ומשמשים גם את האדם למטרות מעשיות. מתמטיקאים בטוחים שהיקום מתפתח על פי "ספירלת זהב" מסוימת, שנוצרה מהמקדמים המצוינים. בעזרתם ניתן לחשב תופעות רבות המתרחשות בכדור הארץ ובחלל, החל מגידול במספר חיידקים מסוימים ועד לתנועת שביטים מרוחקים. כפי שמתברר, קוד ה-DNA מציית לחוקים דומים.
התקדמות גיאומטרית בירידה
ישנו משפט הקובע את הייחודיות של הגבול של רצף מתכנס. משמעות הדבר היא שאין לו שני גבולות או יותר, וזה ללא ספק חשוב למציאת המאפיינים המתמטיים שלו.
בוא נסתכל על כמהמקרים. כל סדרה מספרית המורכבת מאיברים של התקדמות אריתמטית היא מתפצלת, למעט המקרה עם צעד אפס. כך גם לגבי התקדמות גיאומטרית, שהמכנה שלה גדול מ-1. הגבולות של סדרות מספריות כאלה הן ה"פלוס" או "מינוס" של אינסוף. אם המכנה קטן מ-1, אז אין הגבלה כלל. אפשרויות אחרות אפשריות.
שקול את סדרת המספרים הניתנת על ידי הנוסחה X =(1/4) -1. במבט ראשון, קל לראות שהרצף המתכנס הזה מוגבל מכיוון שהוא יורד לחלוטין ובשום אופן לא מסוגל לקבל ערכים שליליים.
בוא נכתוב מספר מהחברים שלו ברצף.
יתברר: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 וכן הלאה. די בחישובים פשוטים למדי כדי להבין באיזו מהירות התקדמות גיאומטרית זו יורדת מהמכנים 0<q<1. בעוד שהמכנה של המונחים גדל ללא הגבלה, הם עצמם הופכים לאינפיניטסימליים. המשמעות היא שהמגבלה של סדרת המספרים היא 0. דוגמה זו מדגימה שוב את האופי המוגבל של הרצף המתכנס.
רצפים בסיסיים
אוגוסטין לואי קאוצ'י, מדען צרפתי, חשף לעולם יצירות רבות הקשורות לניתוח מתמטי. הוא נתן הגדרות למושגים כמו דיפרנציאלי, אינטגרלי, גבול והמשכיות. הוא גם חקר את התכונות הבסיסיות של רצפים מתכנסים. כדי להבין את מהות הרעיונות שלו,יש לסכם כמה פרטים חשובים.
בתחילת המאמר, הוכח שישנם רצפים כאלה שעבורם יש שכונה שבה הנקודות המייצגות את חברי סדרה מסוימת על הקו האמיתי מתחילות להתקבץ, ומסתדרות יותר ויותר. בצפיפות. במקביל, המרחק ביניהם יורד ככל שמספר הנציג הבא גדל, והופך לקטן לאין שיעור. כך, מסתבר שבשכונה נתונה מקובצים מספר אינסופי של נציגים של סדרה נתונה, בעוד שמחוץ לה יש מספר סופי שלהם. רצפים כאלה נקראים יסוד.
קריטריון Cauchy המפורסם, שנוצר על ידי מתמטיקאי צרפתי, מציין בבירור שהנוכחות של תכונה כזו מספיקה כדי להוכיח שהרצף מתכנס. ההיפך גם נכון.
יש לציין שהמסקנה הזו של המתמטיקאי הצרפתי היא בעיקר בעלת עניין תיאורטי בלבד. יישומו בפועל נחשב לעניין מסובך למדי, לכן, על מנת להבהיר את ההתכנסות של סדרות, חשוב הרבה יותר להוכיח את קיומו של גבול סופי לרצף. אחרת, זה נחשב שונה.
כשפותרים בעיות, יש לקחת בחשבון גם את התכונות הבסיסיות של רצפים מתכנסים. הם מוצגים למטה.
סכומים אינסופיים
מדענים מפורסמים כאלה מהעת העתיקה כמו ארכימדס, אוקלידס, אודוקסוס השתמשו בסכומים של סדרות מספרים אינסופיות כדי לחשב את אורכי העקומות, נפחי הגופיםושטחים של דמויות. בפרט, בדרך זו ניתן היה לגלות את השטח של המקטע הפרבולי. לשם כך, נעשה שימוש בסכום של הסדרה המספרית של התקדמות גיאומטרית עם q=1/4. הכרכים והשטחים של דמויות שרירותיות אחרות נמצאו באופן דומה. אפשרות זו כונתה שיטת "התשישות". הרעיון היה שהגוף הנחקר, מורכב בצורתו, נשבר לחלקים, שהיו דמויות עם פרמטרים שנמדדים בקלות. מסיבה זו, לא היה קשה לחשב את השטחים והנפחים שלהם, ואז הם הוסיפו.
אגב, משימות דומות מוכרות מאוד לתלמידי בית ספר מודרניים ונמצאות במשימות USE. השיטה הייחודית, שנמצאה על ידי אבות רחוקים, היא ללא ספק הפתרון הפשוט ביותר. גם אם יש רק שניים או שלושה חלקים שאליהם מחולקת הנתון המספרי, תוספת השטחים שלהם היא עדיין סכום סדרת המספרים.
מאוחר יותר מאשר המדענים היוונים הקדמונים לייבניץ וניוטון, על סמך ניסיונם של קודמיהם החכמים, למדו את דפוסי החישוב האינטגרלי. הידע על תכונות הרצפים עזר להם לפתור משוואות דיפרנציאליות ואלגבריות. נכון לעכשיו, תורת הסדרות, שנוצרה על ידי מאמציהם של דורות רבים של מדענים מוכשרים, נותנת הזדמנות לפתור מספר עצום של בעיות מתמטיות ומעשיות. וחקר רצפים מספריים היה הבעיה העיקרית שנפתרה על ידי ניתוח מתמטי מאז תחילתו.
