מערכת מכנית המורכבת מנקודה חומרית (גוף) התלויה על חוט חסר משקל בלתי ניתן להרחבה (מסתו זניחה בהשוואה למשקל הגוף) בשדה כבידה אחיד נקראת מטוטלת מתמטית (שם אחר הוא מתנד). ישנם סוגים נוספים של מכשיר זה. במקום חוט, ניתן להשתמש במוט חסר משקל. מטוטלת מתמטית יכולה לחשוף בבירור את המהות של תופעות מעניינות רבות. עם משרעת קטנה של תנודה, התנועה שלו נקראת הרמונית.
סקירת מערכת מכנית
הנוסחה לתקופת התנודה של מטוטלת זו נגזרה על ידי המדען ההולנדי הויגנס (1629-1695). בן זמנו של I. ניוטון אהב מאוד את המערכת המכנית הזו. בשנת 1656 הוא יצר את שעון המטוטלת הראשון. הם מדדו זמן בצורה יוצאת דופןעבור אותם זמנים דיוק. המצאה זו הפכה לאבן דרך מרכזית בפיתוח ניסויים פיזיים ופעילויות מעשיות.
אם המטוטלת נמצאת בשיווי משקל (תלויה במאונך), אז כוח הכבידה יאוזן בכוח מתח החוט. מטוטלת שטוחה על חוט בלתי ניתן להרחבה היא מערכת בעלת שתי דרגות חופש עם חיבור. כאשר משנים רק רכיב אחד, המאפיינים של כל חלקיו משתנים. אז, אם החוט מוחלף במוט, אז למערכת המכנית הזו תהיה רק דרגת חופש אחת. מהן התכונות של מטוטלת מתמטית? במערכת הפשוטה ביותר הזו, כאוס מתעורר בהשפעת הפרעה תקופתית. במקרה שבו נקודת ההשעיה אינה זזה, אלא מתנדנדת, למטוטלת יש תנוחת שיווי משקל חדשה. עם תנודות מהירות למעלה ולמטה, מערכת מכנית זו רוכשת עמדה הפוכה יציבה. יש לה גם שם משלה. זה נקרא המטוטלת של Kapitza.
נכסי מטוטלת
מטוטלת מתמטית יש תכונות מאוד מעניינות. כולם מאושרים על ידי חוקים פיזיקליים ידועים. תקופת התנודה של כל מטוטלת אחרת תלויה בנסיבות שונות, כמו גודל וצורת הגוף, המרחק בין נקודת המתלה למרכז הכובד, התפלגות המסה ביחס לנקודה זו. לכן קביעת התקופה של גוף תלוי היא משימה קשה למדי. הרבה יותר קל לחשב את התקופה של מטוטלת מתמטית, שהנוסחה שלה תינתן להלן. כתוצאה מתצפיות דומותמערכות מכניות יכולות ליצור את התבניות הבאות:
• אם, תוך שמירה על אותו אורך של המטוטלת, נתלה משקלים שונים, אזי תקופת התנודות שלהם תהיה זהה, אם כי המסות שלהם ישתנו מאוד. לכן, התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה במסת העומס.
• בעת הפעלת המערכת, אם המטוטלת מוסטת בזוויות לא גדולות מדי, אלא שונות, היא תתחיל להתנודד באותה תקופה, אך עם אמפליטודות שונות. כל עוד הסטיות ממרכז שיווי המשקל אינן גדולות מדי, התנודות בצורתן יהיו די קרובות לאלו הרמוניות. התקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה באמפליטודת התנודה בשום צורה. תכונה זו של מערכת מכנית זו נקראת איזוכרוניזם (בתרגום מיוונית "כרונוס" - זמן, "איזוס" - שווה).
תקופת המטוטלת המתמטית
אינדיקטור זה מייצג את התקופה של תנודות טבעיות. למרות הניסוח המורכב, התהליך עצמו פשוט מאוד. אם אורך החוט של מטוטלת מתמטית הוא L, ותאוצת הנפילה החופשית היא g, אז הערך הזה הוא:
T=2π√L/g
תקופת התנודות הטבעיות הקטנות אינה תלויה בשום אופן במסת המטוטלת ובמשרעת התנודות. במקרה זה, המטוטלת נעה כמו מטוטלת מתמטית באורך מופחת.
תנודות המטוטלת המתמטית
מטוטלת מתמטית מתנודדת, אותה ניתן לתאר באמצעות משוואת דיפרנציאלית פשוטה:
x + ω2 sin x=0, כאשר x (t) היא פונקציה לא ידועה (זו זווית הסטייה מהתחתונהמיקום שיווי המשקל בזמן t, מבוטא ברדיאנים); ω הוא קבוע חיובי, שנקבע מהפרמטרים של המטוטלת (ω=√g/L, כאשר g הוא תאוצת הנפילה החופשית ו-L הוא אורך המטוטלת המתמטית (השעיה).
המשוואה של תנודות קטנות ליד מיקום שיווי המשקל (משוואה הרמונית) נראית כך:
x + ω2 sin x=0
תנועות תנודות של המטוטלת
מטוטלת מתמטית שעושה תנודות קטנות נעות לאורך סינוסואיד. המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עונה על כל הדרישות והפרמטרים של תנועה כזו. כדי לקבוע את המסלול, עליך לציין את המהירות והקואורדינטה, שמהם נקבעים קבועים בלתי תלויים:
x=חטא (θ0 + ωt), כאשר θ0 הוא השלב ההתחלתי, A הוא משרעת התנודה, ω הוא התדר המחזורי שנקבע ממשוואת התנועה.
מטוטלת מתמטית (נוסחאות לאמפליטודות גדולות)
המערכת המכנית הזו, שעושה את התנודות שלה עם משרעת משמעותית, מצייתת לחוקי תנועה מורכבים יותר. עבור מטוטלת כזו, הם מחושבים לפי הנוסחה:
sin x/2=usn(ωt/u), כאשר sn הוא סינוס יעקבי, אשר עבור u < 1 הוא פונקציה מחזורית, ועבור u קטן הוא חופף לסינוס טריגונומטרי פשוט. הערך של u נקבע על ידי הביטוי הבא:
u=(ε + ω2)/2ω2, כאשר ε=E/mL2 (mL2 היא האנרגיה של המטוטלת).
קביעת תקופת התנודה של מטוטלת לא ליניאריתמבוצע לפי הנוסחה:
T=2π/Ω, כאשר Ω=π/2ω/2K(u), K הוא האינטגרל האליפטי, π - 3, 14.
תנועת המטוטלת לאורך המפריד
נפרד הוא מסלול של מערכת דינמית עם מרחב פאזה דו מימדי. המטוטלת המתמטית נעה לאורכה באופן לא תקופתי. ברגע זמן רחוק לאין שיעור, הוא נופל מהמיקום העליון הקיצוני לצד במהירות אפס, ואז מרים אותו בהדרגה. בסופו של דבר הוא עוצר וחוזר למיקומו המקורי.
אם משרעת התנודות של המטוטלת מתקרבת למספר π, זה מצביע על כך שהתנועה במישור הפאזה מתקרבת למפריד. במקרה זה, תחת פעולת כוח מחזורי קטן, המערכת המכנית מפגינה התנהגות כאוטית.
כאשר המטוטלת המתמטית סוטה ממיקום שיווי המשקל עם זווית מסוימת φ, נוצר כוח משיכה משיק של הכבידה Fτ=–mg sin φ. סימן המינוס אומר שמרכיב משיק זה מכוון בכיוון ההפוך מהסטת המטוטלת. כאשר תזוזה של המטוטלת לאורך קשת מעגל עם רדיוס L מסומנת ב-x, התזוזה הזוויתית שלה שווה ל-φ=x/L. החוק השני של אייזק ניוטון, המיועד להטלות של וקטור התאוצה והכוח, ייתן את הערך הרצוי:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
בהתבסס על יחס זה, ברור שמטוטלת זו היא מערכת לא לינארית, שכן הכוח המבקש לחזורזה למיקום שיווי המשקל, הוא תמיד פרופורציונלי לא לתזוזה x, אלא לחטא x/L.
רק כאשר המטוטלת המתמטית עושה תנודות קטנות, זהו מתנד הרמוני. במילים אחרות, היא הופכת למערכת מכנית המסוגלת לבצע רעידות הרמוניות. קירוב זה תקף למעשה עבור זוויות של 15-20 מעלות. תנודות מטוטלת עם משרעות גדולות אינן הרמוניות.
חוק ניוטון לתנודות קטנות של מטוטלת
אם המערכת המכנית הזו מבצעת רעידות קטנות, החוק השני של ניוטון ייראה כך:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
בהתבסס על זה, אנו יכולים להסיק שהתאוצה המשיקית של המטוטלת המתמטית פרופורציונלית לתזוזה שלה עם סימן מינוס. זהו המצב שבגללו המערכת הופכת למתנד הרמוני. מודול ההגבר היחסי בין תזוזה לתאוצה שווה לריבוע של התדר המעגלי:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
נוסחה זו משקפת את התדירות הטבעית של תנודות קטנות של סוג זה של מטוטלת. בהתבסס על זה, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
חישובים המבוססים על חוק שימור האנרגיה
ניתן לתאר את התכונות של תנועות התנודות של המטוטלת גם באמצעות חוק שימור האנרגיה. במקרה זה, יש לקחת בחשבון שהאנרגיה הפוטנציאלית של המטוטלת בשדה הכבידה היא:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
אנרגיה מכנית כוללתשווה פוטנציאל קינטי או מקסימלי: Epmax=Ekmsx=E
לאחר שנכתב חוק שימור האנרגיה, קח את הנגזרת של צד ימין וצד שמאל של המשוואה:
Ep + Ek=const
מכיוון שהנגזרת של ערכים קבועים היא 0, אז (Ep + Ek)'=0. הנגזרת של הסכום שווה לסכום הנגזרות:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, לכן:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
בהתבסס על הנוסחה האחרונה, אנו מוצאים: α=- g/Lx.
יישום מעשי של המטוטלת המתמטית
האצת הנפילה החופשית משתנה בהתאם לקו הרוחב הגיאוגרפי, מכיוון שצפיפות קרום כדור הארץ על פני כדור הארץ אינה זהה. היכן שמתרחשים סלעים עם צפיפות גבוהה יותר, הוא יהיה גבוה יותר. תאוצה של מטוטלת מתמטית משמשת לעתים קרובות לחקירה גיאולוגית. הוא משמש לחיפוש מינרלים שונים. פשוט על ידי ספירת מספר התנודות של המטוטלת, אתה יכול למצוא פחם או עפרה בבטן כדור הארץ. זה נובע מהעובדה שלמאובנים כאלה יש צפיפות ומסה גדולים יותר מהסלעים הרופפים שבבסיסם.
המטוטלת המתמטית שימשה מדענים בולטים כמו סוקרטס, אריסטו, אפלטון, פלוטארכוס, ארכימדס. רבים מהם האמינו שמערכת מכנית זו יכולה להשפיע על גורלו וחייו של אדם. ארכימדס השתמש במטוטלת מתמטית בחישוביו. בימינו, הרבה אוקולטים ומדומיםהשתמש במערכת מכנית זו כדי להגשים את נבואותיהם או לחפש אנשים נעדרים.
האסטרונום וחוקר הטבע הצרפתי המפורסם ק. פלמריון השתמש גם הוא במטוטלת מתמטית למחקרו. הוא טען שבעזרתו הצליח לחזות את גילויו של כוכב לכת חדש, את הופעת המטאוריט טונגוסקה ואירועים חשובים נוספים. במהלך מלחמת העולם השנייה בגרמניה (ברלין) פעל מכון מטוטלת מיוחד. כיום, מכון מינכן לפאראפסיכולוגיה עוסק במחקר דומה. עובדי המוסד הזה קוראים לעבודתם עם המטוטלת "רדיסתזיה".
