פירמידה היא דמות מרחבית גיאומטרית, שמאפייניה נלמדים בתיכון במסגרת גיאומטריה מוצקה. במאמר זה נשקול פירמידה משולשת, סוגיה וכן נוסחאות לחישוב שטח הפנים שלה.
על איזו פירמידה אנחנו מדברים?
פירמידה משולשת היא דמות שניתן לקבל על ידי חיבור כל הקודקודים של משולש שרירותי עם נקודה אחת בודדת שאינה שוכנת במישור של משולש זה. לפי הגדרה זו, הפירמידה הנידונה צריכה להיות מורכבת ממשולש ראשוני, הנקרא בסיס הדמות, ומשלושה משולשי צלעות שיש להם צלע משותפת אחת עם הבסיס ומחוברים זה לזה בנקודה. האחרון נקרא החלק העליון של הפירמידה.
התמונה למעלה מציגה פירמידה משולשת שרירותית.
הדמות הנבדקת יכולה להיות אלכסונית או ישרה. במקרה האחרון, הניצב שנפל מראש הפירמידה לבסיסה חייב לחצות אותו במרכז הגיאומטרי. המרכז הגיאומטרי של כל אחדמשולש הוא נקודת החיתוך של החציונים שלו. המרכז הגיאומטרי חופף למרכז המסה של הדמות בפיזיקה.
אם משולש רגיל (שווה צלעות) נמצא בבסיס פירמידה ישרה, אז הוא נקרא משולש רגיל. בפירמידה רגילה, כל הצלעות שוות זו לזו והן משולשים שווי צלעות.
אם גובהה של פירמידה רגילה הוא כזה שמשולשי הצלעות שלה הופכים לשווי צלעות, אז זה נקרא טטרהדרון. בטטרהדרון, כל ארבעת הפנים שווים זה לזה, כך שכל אחד מהם יכול להיחשב כבסיס.
אלמנטים של פירמידה
אלמנטים אלה כוללים את פניה או הצדדים של דמות, הקצוות, הקודקודים, הגובה והאפוטמים שלה.
כפי שמוצג, כל הצדדים של פירמידה משולשת הם משולשים. המספר שלהם הוא 4 (3 צד ואחד בבסיס).
הקודקודים הם נקודות החיתוך של שלוש הצלעות המשולשות. לא קשה לנחש שעבור הפירמידה הנבדקת יש 4 מהם (3 שייכים לבסיס ו-1 לראש הפירמידה).
קצוות יכולים להיות מוגדרים כקווים שחותכים שתי צלעות משולשות, או כקווים המחברים כל שני קודקודים. מספר הקצוות מתאים למספר כפול של קודקודי הבסיס, כלומר, עבור פירמידה משולשת הוא 6 (3 קצוות שייכים לבסיס ו-3 קצוות נוצרים על ידי פני הצד).
גובה, כפי שצוין לעיל, הוא אורך האנך הנמשך מראש הפירמידה לבסיסה. אם נצייר גבהים מהקודקוד הזה לכל צד של הבסיס המשולש,אז הם יקראו אפוטמים (או אפוטמים). לפיכך, לפירמידה המשולשת יש גובה אחד ושלושה אפוטמים. האחרונים שווים זה לזה עבור פירמידה רגילה.
בסיס הפירמידה והשטח שלה
מכיוון שהבסיס של הדמות הנבדקת הוא בדרך כלל משולש, כדי לחשב את שטחו מספיק למצוא את הגובה ho ואת אורך הצלע של הבסיס א, שעליו מורידים. הנוסחה לאזור So של הבסיס היא:
So=1/2hoa
אם משולש הבסיס שווה צלעות, אזי מחושב שטח הבסיס של הפירמידה המשולשת באמצעות הנוסחה הבאה:
So=√3/4a2
כלומר, השטח So נקבע באופן ייחודי על ידי אורך הצלע a של הבסיס המשולש.
הצד והשטח הכולל של הדמות
לפני ששוקלים את השטח של פירמידה משולשת, כדאי להראות את התפתחותה. היא בתמונה למטה.
השטח של הסוויף הזה שנוצר על ידי ארבעה משולשים הוא השטח הכולל של הפירמידה. אחד המשולשים מתאים לבסיס, שהנוסחה לערכו הנחשב נכתבה למעלה. שלושה פרצופים משולשים לרוחב יוצרים יחד את האזור הרוחבי של הדמות. לכן, כדי לקבוע ערך זה, די ליישם את הנוסחה לעיל עבור משולש שרירותי על כל אחת מהן, ולאחר מכן להוסיף את שלוש התוצאות.
אם הפירמידה נכונה, אז החישובשטח פנים לרוחב הוא הקל, שכן כל הפנים לרוחב הם משולשים שווי צלעות זהים. סמן hbאורך האפוטם, ואז ניתן לקבוע את שטח המשטח הצדי Sb באופן הבא:
Sb=3/2ahb
נוסחה זו נובעת מהביטוי הכללי לשטח של משולש. המספר 3 הופיע במניינים בשל העובדה שלפירמידה יש שלושה פנים צדדיים.
Apotema hb בפירמידה רגילה ניתן לחשב אם גובה הדמות h ידוע. יישום משפט פיתגורס, נקבל:
hb=√(h2+ a2/12)
כמובן, השטח הכולל S של פני הדמות שווה לסכום שטחי הצלע והבסיס שלה:
S=So+ Sb
עבור פירמידה רגילה, בהחלפת כל הערכים הידועים, נקבל את הנוסחה:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
שטחה של פירמידה משולשת תלוי רק באורך הצלע של הבסיס שלה ובגובה.
בעיה לדוגמה
ידוע שקצה הצד של פירמידה משולשת הוא 7 ס"מ, והצד של הבסיס הוא 5 ס"מ. אתה צריך למצוא את שטח הפנים של הדמות אם אתה יודע שהפירמידה הוא רגיל.
השתמש בשוויון כללי:
S=So+ Sb
Area Soשווה ל:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825 ס מ2.
כדי לקבוע את שטח הפנים לרוחב, עליך למצוא את האפוטמה. לא קשה להראות שלאורך קצה הצד ab הוא נקבע לפי הנוסחה:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6.538 ס מ.
אז האזור של Sb הוא:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49.035 cm2.
השטח הכולל של הפירמידה הוא:
S=So+ Sb=10.825 + 49.035=59.86cm2.
שימו לב שבעת פתרון הבעיה, לא השתמשנו בערך של גובה הפירמידה בחישובים.
