כשהם מתכוננים לבחינה במתמטיקה, התלמידים צריכים לעשות שיטתיות בידע שלהם באלגברה ובגיאומטריה. אני רוצה לשלב את כל המידע הידוע, למשל, איך לחשב את שטח הפירמידה. יתר על כן, החל מהבסיס והצדדים לכל שטח הפנים. אם המצב ברור עם פני הצד, מכיוון שהם משולשים, אז הבסיס תמיד שונה.
איך למצוא את השטח של בסיס הפירמידה?
זה יכול להיות כל צורה לחלוטין: ממשולש שרירותי ועד n-גון. והבסיס הזה, בנוסף להבדל במספר הזוויות, יכול להיות דמות רגילה או שגויה. במשימות USE המעניינות תלמידי בית ספר, יש רק משימות עם הדמויות הנכונות בבסיס. לכן, נדבר רק עליהם.
משולש רגיל
זה שווה צלעות. כזה שבו כל הצלעות שוות ומסומן באות "א". במקרה זה, שטח בסיס הפירמידה מחושב לפי הנוסחה:
S=(a2√3) / 4.
Square
הנוסחה לחישוב השטח שלה היא הפשוטה ביותר,כאן "a" הוא הצד שוב:
S=a2.
n-gon רגיל שרירותי
לצד של מצולע יש את אותו ייעוד. עבור מספר הפינות, האות הלטינית n משמשת.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
איך לחשב שטח פנים רוחבי וסך הכל?
מכיוון שהבסיס הוא דמות רגילה, כל הצדדים של הפירמידה שווים. יתר על כן, כל אחד מהם הוא משולש שווה שוקיים, שכן קצוות הצדדיים שווים. לאחר מכן, כדי לחשב את השטח הרוחבי של הפירמידה, אתה צריך נוסחה המורכבת מסכום המונומיאלים הזהים. מספר האיברים נקבע לפי מספר הצלעות של הבסיס.
השטח של משולש שווה שוקיים מחושב לפי הנוסחה שבה מחצית מכפלת הבסיס מוכפלת בגובה. גובה זה בפירמידה נקרא אפוטם. ייעודו הוא "A". הנוסחה הכללית עבור שטח פנים רוחבי היא:
S=½ PA, כאשר P הוא היקף בסיס הפירמידה.
ישנם מצבים שבהם צלעות הבסיס אינן ידועות, אך נתונות קצוות הצד (c) והזווית השטוחה בקודקודו (α). אז הוא אמור להשתמש בנוסחה הזו כדי לחשב את השטח הרוחבי של הפירמידה:
S=n/2in2 sin α.
בעיה 1
מצב. מצא את השטח הכולל של הפירמידה אם הבסיס שלה הוא משולש שווה צלעות עם צלע של 4 ס"מ, והמשפט הוא √3 ס"מ.
החלטה. שֶׁלוֹאתה צריך להתחיל בחישוב היקף הבסיס. מכיוון שזהו משולש רגיל, אז P \u003d 34 \u003d 12 ס"מ. מכיוון שהמשפט ידוע, אתה יכול מיד לחשב את השטח של כל המשטח הרוחבי: ½12√3=6 √3 ס"מ 2.
עבור משולש בבסיס, תקבל את ערך השטח הבא: (42√3) / 4=4√3 ס מ2.
כדי לקבוע את השטח הכולל, עליך להוסיף את שני הערכים המתקבלים: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
תשובה. 10√3cm2.
בעיה 2
מצב. יש פירמידה מרובעת רגילה. אורך דופן הבסיס הוא 7 מ"מ, קצה הצד הוא 16 מ"מ. אתה צריך לדעת את שטח הפנים שלו.
החלטה. מכיוון שהפולידרון הוא מרובע ורגיל, אז הבסיס שלו הוא ריבוע. לאחר שלמדנו את שטחי הבסיס והצדדים, ניתן יהיה לחשב את שטח הפירמידה. הנוסחה של הריבוע ניתנת לעיל. ובפנים הצדדיות ידועות כל צלעות המשולש. לכן, אתה יכול להשתמש בנוסחה של הרון כדי לחשב את השטחים שלהם.
החישובים הראשונים פשוטים ומובילים למספר הזה: 49 מ"מ2. עבור הערך השני, תצטרך לחשב את חצי ההיקף: (7 + 162): 2=19.5 מ"מ. כעת ניתן לחשב את השטח של משולש שווה שוקיים: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 מ"מ 2. ישנם רק ארבעה משולשים כאלה, כך שבחישוב המספר הסופי, תצטרך להכפיל אותו ב-4.
מסתבר: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
תשובה. ערך רצוי 267, 576mm2.
בעיה 3
מצב. עבור פירמידה מרובעת רגילה, אתה צריך לחשב את השטח. הוא יודע את צלע הריבוע - 6 ס"מ ואת הגובה - 4 ס"מ.
החלטה. הדרך הקלה ביותר היא להשתמש בנוסחה עם המכפלה של ההיקף והאפותם. קל למצוא את הערך הראשון. השני קצת יותר קשה.
נצטרך לזכור את משפט פיתגורס ולשקול משולש ישר זווית. הוא נוצר על ידי גובה הפירמידה והאפוטם, שהוא ההיפוטנוז. הרגל השנייה שווה למחצית הצלע של הריבוע, מכיוון שגובה הפולידרון נופל לאמצע שלו.
האפוטם הרצוי (התחתון של משולש ישר זווית) הוא √(32 + 42)=5 (ס מ).
עכשיו אתה יכול לחשב את הערך הנדרש: ½(46)5+62=96 (ראה2).
תשובה. 96 ס מ2.
בעיה 4
מצב. נתון פירמידה משושה רגילה. דפנות בסיסו 22 מ"מ, צלעות הצד 61 מ"מ. מהו שטח הפנים לרוחב של הפוליהדרון הזה?
החלטה. הנימוק בו זהה לתיאור בעיה מס' 2. רק שם ניתנה פירמידה עם ריבוע בבסיס, ועכשיו זה משושה.
קודם כל, שטח הבסיס מחושב באמצעות הנוסחה לעיל: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 ס מ2.
עכשיו אתה צריך לגלות את חצי ההיקף של משולש שווה שוקיים, שהוא פני הצד. (22 + 612): 2 \u003d 72 ס מ. נשאר לחשב את השטח של חוף כזהמשולש, ולאחר מכן הכפל אותו בשש והוסף אותו לזה שהתברר עבור הבסיס.
חישוב לפי הנוסחה של הרון: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . חישובים שיתנו את שטח הפנים הרוחבי: 6606=3960 ס מ2. נותר להוסיף אותם כדי לגלות את כל המשטח: 5217, 47≈5217 cm2.
תשובה. בסיס - 726√3cm2, משטח צד - 3960cm2, שטח כולל - 5217cm2.
